Extensive Abbildung
Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.
Definition
Sei <math>(A,\leq)</math> eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung
- <math>f\colon\, A \to A</math>
heißt extensiv, falls gilt:
- <math>a \leq f(a)</math> für alle <math>a \in A</math>.
Sie heißt intensiv, falls gilt:
- <math>f(a) \leq a</math> für alle <math>a \in A</math>.
Beispiele
- Auf <math>(A,\leq)</math> ist die Identität <math>\operatorname{id}_A\colon\, a \mapsto a</math> extensiv und intensiv, da <math>a \leq a</math> immer gilt.
- Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.
Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser
Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung <math>f\colon A \rightarrow A</math> bereits dann einen Fixpunkt, falls <math>A</math> streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.
Literatur
- Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut u. a., Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01638-8.
- Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 120). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00120-8.
- Serge Lang: Algebra. 3. edition, reprinted, with corrections. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1993, ISBN 0-201-55540-9.