Scott-Topologie

Die Scott-Topologie, benannt nach Dana Scott, ist eine Topologie, die sich aus der Halbordnung auf einer halbgeordneten Menge ergibt.<ref>Dana Scott Continuous lattices, in Lawvere Toposes, Algebraic Geometry and Logic, Lecture Notes in Mathematics 274. Springer-Verlag 1972</ref> Sie spielt unter anderem in der theoretischen Informatik eine Rolle.

Definition

Es sei <math>(A, \sqsubseteq)</math> eine Menge mit Halbordnung. Eine Teilmenge <math>U\subseteq A</math> heißt Scott-abgeschlossen, falls

<math>U</math> bezüglich <math>\sqsubseteq</math> eine Unterhalbmenge ist, das heißt mit jedem Element auch jedes bzgl. der Halbordnung kleinere enthält, und
für alle gerichteten <math>M\subseteq U</math>, die in <math>(A,\sqsubseteq)</math> ein Supremum <math>\bigsqcup M</math> haben, ist <math>\bigsqcup M \in U</math>.

Die so definierten Scott-abgeschlossenen Mengen sind genau die abgeschlossenen Mengen der Scott-Topologie auf <math>(A,\sqsubseteq)</math>.

Eigenschaften

Im Folgenden seien <math>(A,\sqsubseteq_A)</math> und <math>(B,\sqsubseteq_B)</math> halbgeordnete Mengen, und sie seien mit der jeweiligen Scott-Topologie ausgestattet.

Ist <math>f\colon A\to B</math> eine stetige Abbildung, so ist <math>f</math> monoton.
Eine Abbildung <math>f\colon A\to B</math> ist genau dann stetig, wenn <math>f</math> gerichtete Suprema erhält, d. h. für alle gerichteten <math>M\subseteq A</math> mit Supremum <math>\bigsqcup M</math> ist <math>\bigsqcup(f(M)) = f(\bigsqcup M)</math>.

Literatur

S. Abramksy, A. Jung: Handbook of Logic in Computer Science. Vol. III. Oxford University Press, 1994, ISBN 0-19-853762-X, Domain theory (bham.ac.uk [PDF]).

Weblinks

Scott topology, Eintrag im nLab. (englisch)

Einzelnachweise