Satz von Ehresmann
In der Mathematik ist der Satz von Ehresmann, benannt nach Charles Ehresmann, ein grundlegender Satz der Differentialtopologie.
Formulierung des Satzes
Seien <math>M,N</math> differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
- <math>f:M\rightarrow N</math>
eine differenzierbare Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
- 1. <math>f</math> ist eine Submersion, d. h. für alle <math>x\in M</math> ist das Differential <math>D_xf:T_xM\rightarrow T_{f(x)}N</math> surjektiv,
- 2. <math>f</math> ist surjektiv, d. h. für alle <math>y\in N</math> ist <math>f^{-1}(\left\{y\right\})</math> nicht leer,
- 3. <math>f</math> ist eigentlich, d. h. für alle kompakten Mengen <math>K\subset N</math> ist <math>f^{-1}(K)</math> kompakt.
Dann ist <math>f:M\rightarrow N</math> ein Faserbündel.
Man beachte, dass die dritte Bedingung automatisch erfüllt ist, wenn <math>M</math> kompakt ist.
Beispiel
Eine Funktion <math>f:M\rightarrow N</math> liefert eine Zerlegung des Urbildraumes <math>M</math> in Niveaumengen
- <math>f^{-1}(c): c\in N</math>.
Das Bild rechts zeigt die Zerlegung von <math>\mathbb R^2</math> in Niveaumengen der Funktion <math>f(x,y)=x^2+y^2</math>.
Man kann dann fragen, ob diese Zerlegung lokal trivial, also ein Faserbündel über <math>N</math> mit den Niveaumengen als Fasern ist. (Daraus würde dann insbesondere folgen, dass alle Niveaumengen diffeomorph zueinander sind.)
Das Beispiel <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> ist als Abbildung von <math>\mathbb R^2</math> nach <math>\mathbb R_{\ge 0}</math> kein Faserbündel, denn <math>f^{-1}(0)</math> ist nicht diffeomorph zu <math>f^{-1}(c)</math> für <math>c>0</math>. Der Grund dafür ist letztlich, dass <math>f</math> im Punkt <math>(0,0)</math> keine Submersion ist: das Differential verschwindet in diesem Punkt.
Dagegen erfüllt die Einschränkung von <math>f</math> auf <math>\mathbb R^2\setminus\left\{(0,0) \right\}</math> die Voraussetzungen des Satzes von Ehresmann, die Niveaumengen von <math>x^2+y^2</math> sind also die Fasern eines Faserbündels <math>p:\mathbb R^2\setminus\left\{(0,0) \right\}\rightarrow\mathbb R_{>0}</math>. In diesem Beispiel handelt es sich sogar um ein (global) triviales Faserbündel, die Abbildung <math>(r,\theta)\rightarrow (r\cos\theta,r\sin\theta)</math> liefert einen Diffeomorphismus <math>\mathbb R_{>0}\times S^1\rightarrow \mathbb R^2\setminus\left\{(0,0) \right\}</math>.
Gegenbeispiel
Beispiele, die die Bedingungen 1. und 2., aber weder Bedingung 3. noch die Konklusion erfüllen, erhält man wie folgt: Seien <math>A</math> und <math>B</math> kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeiten, <math>(a_0,b_0)\in A\times B</math> ein beliebiger Punkt, <math>M:=A\times B\setminus\left\{(a_0,b_0) \right\}</math> und <math>f:M\rightarrow B</math> die durch
- <math>f(a,b)=b</math>
definierte Abbildung. <math>f</math> ist eine surjektive Submersion, aber kein Faserbündel, denn <math>f^{-1}(b_0)</math> ist nicht diffeomorph zu <math>f^{-1}(b)</math> für <math>b\not=b_0</math>. (Denn <math>f^{-1}(b)</math> ist kompakt, während <math>f^{-1}(b_0)</math> nicht kompakt ist.)
Literatur
- Dundas: Differential Topology (PDF; 3,1 MB) mit einem Beweis des Satzes in Abschnitt 9.5.