Hypograph

Der Hypograph einer Funktion

In der Mathematik bezeichnet der Hypograph einer reellwertigen Funktion <math>f</math> die Menge aller Punkte, die auf oder unter ihrem Graphen liegen.

Definition

Sei <math>X \subset \R^n</math>. Der Hypograph der Funktion <math>f \colon X \to \R</math> ist definiert durch<ref>Wilhelm Rödder, Peter Zörnig: Wirtschaftsmathematik für Studium und Praxis 3 - Analysis II. Springer, 1997, ISBN 978-3-540-61716-7, S. 55. </ref>

<math>\operatorname{hypo}\, f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R} \, : \, \mu\le f(x) \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}\,.</math>

Ist der Bildraum der Funktion der <math> \R^n </math> versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung <math> \preccurlyeq_K </math>, so ist der Hypograph definiert als

<math>\operatorname{hypo}\, f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R}^n \, : \, \mu \preccurlyeq_K f(x) \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}^n</math>.

Eigenschaften

Sei <math>X \subset \R^n</math>. Für Funktionen <math>f \colon X \rightarrow \mathbb{R}</math> gilt:

<math>f</math> ist genau dann konkav, wenn der Hypograph von <math>f</math> eine konvexe Menge bildet.
<math>f</math> ist genau dann oberhalbstetig, wenn der Hypograph von <math>f</math> eine abgeschlossene Menge bildet.
Ist <math>f</math> eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Hypograph einen Halbraum in <math>X</math>.

Siehe auch

Epigraph (Mathematik)

Weblinks

Commons: Epi- und Hypographen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise