Quasikonforme Abbildung

In der Funktionentheorie ist eine quasikonforme Abbildung eine Verallgemeinerung einer biholomorphen Abbildung. Hier wird im Wesentlichen auf die Winkeltreue verzichtet.

Definition

Seien <math>G</math> und <math>H</math> zwei Gebiete der komplexen Zahlenebene. Ein Homöomorphismus

<math>f\colon G\longrightarrow H</math>

heißt quasikonform, wenn es eine positive reelle Zahl <math>k</math> kleiner 1 gibt, so dass

<math>\|\mu\|_{\infty} < k</math>

gilt. Dabei ist

<math>\mu = \frac{f_{\bar{z}}}{f_z}=\frac{\partial_{\bar{z}}f}{\partial_z f}</math>

die komplexe Dilatation, auch Beltrami-Koeffizient genannt.

Die Dilatation von f im Punkt z ist definiert als

Das Supremum

<math>K = \sup_{z\in D} |K(z)| = \frac{1+\|\mu\|_\infty}{1-\|\mu\|_\infty}</math>

ist die Dilatation von f.

Beltrami-Gleichung

Sei k eine positive reelle Zahl kleiner 1. Die partielle Differentialgleichung

<math> \partial_{\bar{z}}f=\mu(z)\partial_z f, </math>

wobei <math>\mu(z)</math> eine integrierbare Funktion mit <math>\|\mu\|_{\infty} < k </math> ist, heißt Beltrami-Gleichung.

Hauptsatz

Auf der riemannschen Zahlenkugel gilt, dass die Lösungen der Beltrami-Gleichung genau die quasikonformen Abbildungen sind.

Als Anwendung dieses Satzes kann man zeigen, dass alle fastkomplexen Strukturen auf der 2-Sphäre und auf allen anderen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten integrabel sind, d. h., alle fastkomplexen Strukturen sind komplexe Strukturen.

Literatur

C. B. Morrey: On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., Bd. 43, 1938, Seiten 126–166.
V. Gol'dshtein, Yu. G. Reshet'nyak: Quasiconformal mappings and Sobolev spaces. Kluwer, 1990 (übersetzt aus dem Russischen).
A. Bejancu: Quasi-conformal mapping. In: Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826
Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085