Asymptotische Dichte

Die asymptotische Dichte (auch natürliche Dichte) ist ein zahlentheoretischer Grenzwert, der den Anteil einer Untermenge natürlicher Zahlen an der Menge natürlicher Zahlen angibt.

Asymptotische Dichte

Sei <math>A \subseteq \N</math> und definiere die Zählfunktion

für ein <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei <math>|\cdot|</math> die Mächtigkeit bezeichnet.

Falls der Grenzwert

<math>d(A):=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n}</math>

existiert, so nennt man ihn die asymptotische Dichte von <math>A</math>. Es gilt <math>0 \leq d(A) \leq 1</math>.

Erläuterungen

Bei der asymptotischen Dichte handelt es sich um einen Spezialfall einer allgemeinen Dichte von der Form

<math>D(A)=\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{a\leq n, a\in A}\lambda_{a}/\sum\limits_{x\leq n}\lambda_{x}.</math>

Die asymptotische Dichte erhält man bei der Wahl <math>\lambda_x=1</math> für alle <math>x\geq 1</math>.

Eine weitere übliche Dichtefunktion ist die logarithmische Dichte <math>\delta(A)</math>, welche man durch die Wahl <math>\lambda_x=1/x</math> für alle <math>x\geq 1</math> erhält. Für den natürlichen Logarithmus gilt

<math>\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\approx\log(n)+\gamma</math>

wobei <math>\gamma</math> die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Somit definiert man die logarithmische Dichte als

<math>\delta(A)=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\log(n)}\sum\limits_{a\leq n, a\in A}\frac{1}{a},</math>

falls sie existiert.

Obere und untere asymptotische Dichte

Die obere asymptotische Dichte <math>\overline{d}(A)</math> von <math>A</math> ist durch

<math>\overline{d}(A)\colon = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n}</math>

definiert, wobei lim sup der Limes superior ist. Ebenso ist <math>\underline{d}(A)</math> die durch

<math>\underline{d}(A)\colon = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ a(n) }{n}</math>

definierte untere asymptotische Dichte von <math>A</math>. <math>A</math> hat nur dann eine asymptotische Dichte <math>d(A)</math>, wenn <math>\underline{d}(A)=\overline{d}(A)</math> gilt. In diesem Fall existiert der Grenzwert

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n}=\underline{d}(A)=\overline{d}(A)=\colon d(A)</math>

und daher kann durch ihn <math>d(A)</math> definiert werden.

Beispiele

Wenn <math>d(A)</math> für die Menge <math>A</math> existiert, dann gilt für die bezüglich <math>\N</math> komplementäre Menge <math>\overline{A}</math>: <math>d(\overline{A}) = 1 - d(A)</math>
<math>d(\N) = 1</math>
Für eine beliebige endliche Menge <math>E</math> natürlicher Zahlen gilt: <math>d(E) = 0</math>
Für die Menge <math>A=\{n^2; n\in\mathbb{N}\}</math> aller Quadratzahlen gilt: <math>d(A) = 0</math>
Für die Menge <math>A=\{2n; n\in\mathbb{N}\}</math> aller geraden Zahlen gilt: <math>d(A) = 1/2</math>
Allgemeiner gilt für jede arithmetische Folge <math>A=\{an+b; n\in\mathbb{N}\}</math> mit positivem <math>a</math>: <math>d(A) = 1/a</math>
Für die Menge <math>P</math> aller Primzahlen erhält man aufgrund des Primzahlsatzes: <math>d(P) = 0</math>
Die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen hat die Dichte <math>6/\pi^2=1/\zeta(2)</math> mit der Riemannschen Zetafunktion <math>\zeta</math>.
Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0,2474 und 0,2480.
Die Menge <math>A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty \left\{2^{2n},\dotsc,2^{2n+1}-1\right\}</math> aller Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat, ist ein Beispiel für eine Menge ohne asymptotische Dichte. Für die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall:

<math>\underline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\dotsb+2^{2m}}{2^{2m+2}-1}

= \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)} = \frac 13</math>

<math>\overline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\dotsb+2^{2m}}{2^{2m+1}-1}

= \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)} = \frac 23</math>

Quellen

Hans-Heinrich Ostmann: Additive Zahlentheorie (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 7). Erster Teil: Allgemeine Untersuchungen. Springer-Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1956, ISBN 978-3-662-11030-0 (books.google.de – Leseprobe).
Jörn Steuding: Probabilistic number theory. (PDF) In: psu.edu. citeseerx.ist.psu.edu, abgerufen am 7. Februar 2016.