Apothema

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Das Apothema () einer Kreissehne ist ihr Abstand vom Mittelpunkt des Kreises, also die Länge des Lotes vom Mittelpunkt auf die Sehne.<ref>Paul Huther: Anfangsgründe der Geometrie vorzüglich zum Gebrauche an technischen Schulen. G. Joseph Manz, Regensburg 1838, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.</ref>

Das Apothema eines regelmäßigen Vielecks<ref>J. Michael Köberlein: Lehrbuch der Elementar-Geometrie und Trigonometrie zunächst für Gymnasien und Lyzeen. J. E. von Seidel, Sulzbach 1824, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.</ref> ist das Apothema seiner Kanten (als Sehnen im Umkreis) und gleichzeitig sein Inkreisradius.

Berechnung

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Apothema der Sehne AB (mit Mittelpunkt L) eines Kreises (um M) ist die Länge a = ML.

Ist <math>r</math> der Kreisradius und <math>l</math> die Länge der Kreissehne, dann gilt nach dem Satz des Pythagoras für das Apothemas <math>a</math>

<math>r^2 = a^2 + \frac{l^2}{4}</math>

und damit

<math>a = \sqrt{r^2 - \tfrac{l^2}4}</math>.

Das Apothema eines regelmäßigen n-Ecks der Kantenlänge <math>l</math> ist

<math>a = \frac{l} {2 \, \tan \frac{180^\circ}{n}}</math>.

Damit kann sein Flächeninhalt zu <math>A = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot l\cdot a</math> ermittelt werden. Für verschiedene <math>n</math> ergeben sich die folgenden Werte:

regelmäßiges Vieleck	Seitenlänge	Apothema	Fläche
Dreieck	<math> l = r \cdot \sqrt{3}</math>	<math> a = r \cdot \tfrac 12</math>	<math> A = r^2 \cdot \tfrac{3 \sqrt{3}}{4}</math>
Viereck	<math> l = r \cdot \sqrt{2}</math>	<math> a = r \cdot \tfrac12 \sqrt{2}</math>	<math> A = r^2 \cdot 2</math>
Fünfeck	<math> l = r \cdot \sqrt{\tfrac12 (5-\sqrt{5})}</math>	<math> a = r \cdot \tfrac14 (1+\sqrt{5})</math>	<math> A = r^2 \cdot \tfrac58 \sqrt{(10+2\sqrt{5})}</math>
Sechseck	<math> l = r \,</math>	<math> a = r \cdot \tfrac12 \sqrt{3}</math>	<math> A = r^2 \cdot \tfrac{3}{2} \sqrt{3} </math>
Achteck	<math> l = r \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}</math>	<math> a = r \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac14 \sqrt{2}}</math>	<math> A = r^2 \cdot 2 \sqrt{2}</math>
<math>n</math>-Eck	<math> l = r \cdot 2 \cdot \sin \tfrac{180^\circ}{n} </math>	<math> a = r \cdot \cos \tfrac{180^\circ}{n}</math>	<math> A = r^2 \cdot \tfrac{n}{2} \cdot \sin \tfrac{360^\circ}{n} </math>
<math>n \to \infty</math> (Kreis)	<math> l \to 0 </math>	<math> a \to r </math>	<math> A \to r^2 \cdot \pi</math>

Siehe auch

• Sagitta-Methode

Weblinks

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Commons: Chord (geometry) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Datei:Wiktfavicon en.svgWiktionary: Apothema – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Apothem. In: MathWorld (englisch).
• Sagitta, Apothem, and Chord Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project

Einzelnachweise

<references />