Inklusionsisotonie

Die Inklusionsisotonie stellt eine der fundamentalen Eigenschaften der Intervallrechnung dar. Dabei kann im Allgemeinen der Wertebereich einer Funktion eingeschränkt werden, wodurch ein genaueres Ergebnis erzielt werden kann. Allerdings ist zu beachten, dass verschiedene untereinander äquivalente Darstellungen einer Funktion zu verschiedenen Wertebereichseinschließungen führen können. Der Wertebereich wird hierbei stets eingeschlossen, niemals jedoch unterschätzt. Ziel ist es dabei, möglichst nahe an das gewünschte Ergebnis zu gelangen bzw. den Wertebereich möglichst weit einzuschränken<ref>Dobner H.-J., Nonnenmacher A., Mlynski D.A. Automatisches Differenzieren und Intervallarithmetik zur Flüssigkristallsimulation. Electrical Engineering 80 (1997). Springer-Verlag 1997, S. 179</ref>.

Die Inklusionsisotonie ist eine wichtige Eigenschaft von Intervallen bei Intervallerweiterungen. Sie findet ihre Anwendung vor allem im Bereich der Intervallanalysis und der Numerischen Mathematik.

Definition

Konkret besagt sie, dass eine beliebige Funktion <math>f(x)</math> in ihrer Intervallerweiterung <math>F(X)</math> enthalten ist für alle <math>x \in X</math>, dass also <math>F(X)</math> alle Werte von <math>f(x)</math> beinhaltet<ref name="Moore">Moore R.E., Kearfott R.B., Cloud M.J. Introduction to Interval Analysis. SIAM, USA, 2009.</ref>. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies:

<math>x \in X \Rightarrow f(x) \in F(X) \wedge X \subseteq Y \Rightarrow F(X) \subseteq F(Y)</math> <ref> Dimensionierung analoger Schaltungen mit formalen Methoden (Memento vom 29. Januar 2016 im Internet Archive)</ref>

Jede Intervallerweiterung, die diese Eigenschaft besitzt, heißt inklusionsisoton. Die Operationen der Intervallarithmetik, die hier beteiligt sind, erfüllen dann:

<math>X_1 \subseteq Y_1, X_2 \subseteq Y_2 \Rightarrow X_1 \odot X_2 \subseteq Y_1 \odot Y_2</math>

Einzelnachweise

<references />