Kramers-Moyal-Entwicklung

Die Kramers-Moyal-Entwicklung ist in der Physik eine Taylor-Entwicklung einer Mastergleichung, welche die Mastergleichung als Integro-Differentialgleichung in eine partielle Differentialgleichung umformt. Entwickelt wird dabei nach der Schrittgröße <math>\Delta x</math>:<ref>Wolfgang Paul, Jörg Baschnagel: Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer, 2013, ISBN 3-319-00327-5, S. 47 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). </ref><ref>Jochen Veith: Bewertung von Optionen unter der Coherent Market Hypothesis. Springer, 2006, ISBN 3-8350-0419-0, S. 28 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). </ref>

<math>\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n}\Big[a_n(x) p(x,t)\Big]</math>

mit

<math>a_n(x) = \int \limits_{-\infty}^{\infty} (\Delta x)^n W(x,\Delta x) \,\mathrm{d}(\Delta x)</math>

Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort <math>x</math> abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit <math>p</math>. Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum <math>\Delta x=x-x'</math> und Zeit <math>\Delta t</math> betrachtet. <math>W(x,\Delta x):=W(x'|x)</math> ist die Übergangswahrscheinlichkeitsrate. Abbruch der Reihe in zweiter Ordnung ergibt die Fokker-Planck-Gleichung.

Die Entwicklung ist nach Hendrik Anthony Kramers und José Enrique Moyal benannt.

Das Pawula-Theorem besagt, dass falls das dritte Glied der Entwicklung verschwindet, auch alle höheren Terme verschwinden. Falls die Entwicklung nicht mit dem dritten Glied abbricht, enthält sie unendlich viele Beiträge.<ref>The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications, Hannes Risken, Seite 70, https://books.google.de/books?id=dXvpCAAAQBAJ&lpg=PA70&ots=1IZwvn5hYJ&dq=Pawula-Theorem&hl=de&pg=PA70#v=onepage&q=Pawula-Theorem&f=false</ref>

Einzelnachweise

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