Lambert-Reihe
In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.
Definition
Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:
- <math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac {q^n}{1-q^n}</math>
Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit <math>a_n = 1</math> für alle Werte n:
- <math>L(q)=\sum_{n=1}^\infty \frac {q^n}{1-q^n}</math>
Eigenschaften
Konvergenz
Für <math>|q| = 1</math> konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für <math>|q| \neq 1</math> konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergiert. Konvergiert <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n</math> nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle <math>q</math>, für die die Potenzreihe <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n q^n</math> konvergiert (Satz von Konrad Knopp).
Lambert-Reihe als Potenzreihe
Die Lambert-Reihe kann für <math>|q| < 1</math> in eine geometrische Reihe
- <math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty q^{nk} = \sum_{m=1}^\infty b_m q^m</math>
entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten <math>b_m</math> der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von <math>a_n</math> mit der konstanten Folge <math>1_{(n)} = 1</math> ergeben:
- <math>b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n</math>
Alternative Form
Setzt man <math>q=e^{-z}</math>, so erhält man eine andere übliche Form der Reihe
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac {a_n}{e^{zn}-1}= \sum_{m=1}^\infty b_m e^{-mz},</math>
wieder mit
- <math>b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n.</math>
Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit <math>z=2\pi</math>, treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.
Anwendung
Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.<ref>Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. In: wayback.cecm.sfu.ca. Archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am 2. April 2023; abgerufen am 12. Mai 2023. Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.</ref><ref>Eric W. Weisstein: Erdős-Borwein Constant. In: MathWorld (englisch). </ref>
Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt):
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{F_{2n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{5} \ \Phi^{2n}}{\Phi^{4n}-1} = \sqrt{5}\left(L\left(\Phi^{-2}\right)-L\left(\Phi^{-4}\right)\right)</math>
Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{P_{2n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)^{2n}}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{4n}-1} = 2\sqrt{2}\left(L\left(\left(\sqrt{2}-1\right)^2\right)-L\left(\left(\sqrt{2}-1\right)^4\right)\right)</math>
Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:
- <math>E = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} - 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n} + 1}{2^{n^2}\left(2^{n} - 1\right)} = L\left(\frac{1}{2}\right)</math>
Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:
- <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^{n} - 1} - \frac{2}{4^{n} - 1}\right) = L\left(\frac{1}{2}\right) - 2L\left(\frac{1}{4}\right)</math>
Siehe auch
Literatur
- Eric W. Weisstein: Lambert Series. In: MathWorld (englisch).
- G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974, S. 323.
- Ravi Agarwal: Lambert series and Ramanujan. Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien.
Einzelnachweise
<references />