Markoff-Zahl

Die ersten Einträge im Baum der Markoff-Zahlen

Eine Markoff-Zahl (nach Andrei Andrejewitsch Markow) ist eine natürliche Zahl <math>x, y</math> oder <math>z</math>, die als Lösung der diophantischen Markoff-Gleichung

vorkommt. Die ersten Markoff-Zahlen sind

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, …

Sie sind Teile der Lösungen der Markoff-Gleichung, von denen die ersten <math>(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29)</math> lauten. Die Lösungen werden auch als Markoff-Tripel bezeichnet.<ref>Siehe auch den Abschnitt „Die Markoff-Zahlen“ in Paulo Ribenboims Buch Meine Zahlen, meine Freunde: Google Books</ref><ref>Die Markoff-Zahlen sind die Folge A002559 in Neil Sloanes Online Encyclopedia of Integer Sequences.</ref>

Markoff-Zahlen kommen in der Theorie der Quadratischen Formen und der diophantischen Approximationen vor: Ist <math>m</math> eine Markoff-Zahl, so ist <math>m/\sqrt{9m^2-4}</math> sowohl ein Element des sogenannten Markoff-Spektrums (quadratische Formen) als auch des Lagrange-Spektrums (diophantische Approximationen).

Eigenschaften

Es gibt unendlich viele Markoff-Zahlen und -Tripel. Da die Markoff-Gleichung symmetrisch in den Variablen ist, kann man die Lösungstripel <math>(x, y, z)</math> der Größe nach geordnet mit <math>x \le y \le z</math> angeben. Mit Ausnahme der beiden kleinsten Tripel <math>(1,1,1)</math> und <math>(1,1,2)</math> bestehen die Lösungstripel <math>(x, y, z)</math> aus drei verschiedenen Zahlen. Eine seit langer Zeit untersuchte – aber noch unbewiesene – Vermutung besagt, dass das größte Element <math>z</math> eines Tripels schon das Markoff-Tripel <math>(x, y, z)</math> bestimmt.<ref>Der Lösungsansatz von Norbert Riedel aus dem Jahr 2007 (Markoff Equation and Nilpotent Matrices, arxiv:0709.1499) wird diskutiert in dem langen Artikel von Serge Perrine: De Frobenius à Riedel: analyse des solutions de l’équation de Markoff, Archive-Ouvertes (PDF; 713 kB).</ref>

Die Markoff-Zahlen können wie rechts abgebildet in einem Baum angeordnet werden. Die zur Region 1 benachbarten Markoff-Zahlen sind die Fibonacci-Zahlen <math>f_i</math> mit ungeradem <math>i</math>. Die zur Region 2 benachbarten Markoff-Zahlen sind die sogenannten Pell-Zahlen <math>p_i</math> mit ungeradem <math>i</math>.<ref>Diese genügen, mit den Startwerten <math>p_0=0</math> und <math>p_1=1</math>, der Rekursion <math>p_i = 2p_{i-1}+p_{i-2}</math>. Die Pell-Zahlen mit ungeradem <math>i</math> haben die Eigenschaft, dass <math>2p_i^2 - 1</math> eine Quadratzahl ist (sie sind Lösungen <math>y</math> der Pellschen Gleichung <math>x^2-2y^2=-1\,</math>).</ref>

Ist eine Markoff-Zahl <math>m</math> ungerade, so erfüllt sie die Kongruenz <math>m \equiv 1\ mod\ 4</math> und wenn sie gerade ist, dann gilt <math>m \equiv 2\ mod\ 32</math>.<ref>Ying Zhang: Congruence and Uniqueness of Certain Markov Numbers, Acta Arithmetica 128 3, 2007, 295–301</ref> Die drei Markoff-Zahlen eines Tripels sind stets paarweise teilerfremd.

Die Erzeugung neuer Markoff-Tripel aus bekannten

Man kann aus einer Lösung <math>(x, y, z)</math> der Markoff-Gleichung mittels <math>(x, y, z) \to (x, y, 3xy - z)</math> weitere Lösungen erzeugen.<ref>Es gilt nämlich <math>x^2 + y^2 + (3xy-z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 9x^2y^2 - 6xyz = 9x^2y^2 - 3xyz = 3(3xy-z)xy\,</math>.</ref> Dabei ist es nicht nötig, dass die Lösung, mit der man beginnt, der Größe nach geordnet ist. Die unterschiedlichen Anordnungen von <math>x, y</math> und <math>z</math> können unterschiedliche Tripel <math>(x, y, 3xy - z)</math> erzeugen.

Nimmt man zum Beispiel <math>(1, 5, 13)</math>, dann bekommt man die drei benachbarten Tripel <math>(5, 13, 194), (1, 13, 34)</math> und <math>(1, 2, 5)</math> im Markoff-Baum, wenn man <math>x</math> gleich <math>1, 5</math> oder <math>13</math> setzt. Wendet man <math>(x, y, z) \to (x, y, 3xy - z)</math> zweimal an, ohne die Einträge im Tripel umzusortieren, so bekommt man wieder das Ausgangstripel.

Datei:MarkoffNumberAsymptotics.png

Fehler der Approximation für die ersten 1000 Markoff-Zahlen

Beginnt man mit <math>(1, 1, 2)</math> und vertauscht fortwährend <math>y</math> und <math>z</math> vor jeder Transformation, so erzeugt man damit die oben erwähnten Markoff-Tripel, die Fibonacci-Zahlen enthalten. Mit dem gleichen Starttripel aber mit Vertauschen von <math>x</math> und <math>z</math> erzeugt man die Pell-Lösungen.

Wie groß ist die n-te Markoff-Zahl?

Im Jahr 1982 bewies Don Zagier eine asymptotische Formel für die Anzahl der Markoff-Tripel unterhalb einer Schranke und vermutete, dass die <math>n</math>-te Markoff-Zahl asymptotisch gegeben ist durch

<math>m_n = \tfrac13 e^{C\sqrt{n}+o(1)}</math> mit <math>C = 2,3523418721\ldots</math>

(hier wird die O-Notation von E. Landau verwendet).<ref>Don B. Zagier: On the Number of Markoff Numbers Below a Given Bound. In: Mathematics of Computation, 160, 1982, S. 709–723, ams.org (PDF; 1,2 MB)</ref><ref>Siehe den <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Vortrag von M. Waldschmidt (Memento vom 24. Februar 2014 im Internet Archive; PDF; 4,2 MB)</ref> Der Fehler <math>(\log(3 m_n)/C)^2-n</math> ist in der nebenstehenden Abbildung illustriert. Die 1000. Markoff-Zahl ist ca. <math>6\cdot 10^{31}</math>.<ref>Folge A002559 in OEIS</ref>

Literatur

Thomas Cusick, Mari Flahive: The Markoff and Lagrange spectra. In: Math. Surveys and Monographs, 30, 1989, AMS, Providence
Serge Perrine: La théorie de Markoff et ses développements. Tessier & Ashpool, 2002, arxiv:math-ph/0307032
Caroline Series: The Geometry of Markoff Numbers. In: The Mathematical Intelligencer, 7 (3), 1985, S. 20–29.
Eric W. Weisstein: Markov number. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise