Halbwinkelsatz

Die Halbwinkelsätze sind Formeln der Trigonometrie, die für spezielle, logarithmisch brauchbare Anwendungsfälle zur Ermittlung der Bestimmungsgrößen (Seiten a, b, c; Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>) von allgemeinen Dreiecken entwickelt wurden. Entsprechende Sätze gelten für allgemeine Dreiecke auf einer Kugeloberfläche (sphärische Geometrie).

Halbwinkelsätze in der Ebene

allgemeines Dreieck

<math>\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}</math>
<math>\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}</math>
<math>\tan{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}</math>

wobei <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math>

Die zur dritten Formel äquivalente Aussage

<math>\cot{\frac{\alpha}{2}} = \frac{s-a}{\rho} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}</math>

ist auch als Kotangenssatz bekannt. <math>\rho</math> bezeichnet hier den Inkreisradius.

Entsprechende Formeln gelten für die anderen Winkel.

Halbwinkelsätze auf der Kugeloberfläche

<math>\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b) \, \sin(s-c)}{\sin b \, \sin c}}</math>
<math>\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin s \, \sin(s-a)}{\sin b \, \sin c}}</math>
<math>\tan{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b) \, \sin(s-c)}{\sin s \, \sin (s-a)}}</math>

wobei <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math>

Quellen

Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, S. 622.
F. Specht: Herleitung der trigonometrischen Formel für die Tangente des halben Winkels aus den Seiten des Dreiecks. In: Archiv der Mathematik und Physik. 2. Reihe. Mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten. Band XIII, 1894, S. 223–224 (Eintrag zbMATH Open).