Primzahlpotenz

Primzahlpotenzen (kurz Primpotenzen) sind natürliche Zahlen, die eine Potenz einer Primzahl <math>p</math> sind, z. B. <math>625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4</math>.

Primzahlpotenzen treten bei endlichen Körpern auf. Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine Primzahlpotenz.

Beispiele und Werte

<math>169 = 13^2</math>
<math>2401 = 7^4</math>
<math>1024 = 2^{10}</math>

Die ersten Primzahlpotenzen sind:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101 …<ref>A000961 - OEIS. Abgerufen am 19. November 2021.</ref>

Lässt man die einfachen Primzahlen, also die Primpotenzen mit 1 als Exponent, aus, erhält man:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, 121, 125, 128, 169, 243, 256, 289, 343, 361, 512, 529, 625, 729, 841, 961, 1024, 1331 …<ref>A025475 - OEIS. Abgerufen am 19. November 2021.</ref>

Modul

<math>p\ge 5, p^2\equiv 1 \mod{\{2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}}</math>
<math>p\ge 7, p^4\equiv 1 \mod{\{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80\}}</math>

...

<math>p\ge 23, p^{7920}\equiv 1 \mod{\{2 - 28, 30, ...\}}</math>

...

Verallgemeinerung

In beliebigen kommutativen Ringen mit <math>1</math> werden Primzahlpotenzen durch primäre Ideale und irreduzible Ideale verallgemeinert. In Dedekindringen sind Ideale genau dann primär bzw. irreduzibel, wenn sie von einer Potenz eines Primelementes erzeugt werden.

Sonstiges

Im Film Cube (1997) markieren Primzahlpotenzen diejenigen Räume einer kubischen Labyrinthstruktur, die tödliche Fallen enthalten.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Prime Power. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise