Momentenproblem

Das Momentenproblem ist ein klassisches Problem der Analysis. Statt aus einer Verteilung die Momente zu berechnen, wird das inverse Problem gelöst: aus einer gegebenen Folge von Momenten sollen Rückschlüsse auf eine mögliche, zugrundeliegende Verteilung gezogen werden, insbesondere in der Stochastik, siehe Moment (Stochastik)<ref>Momentenproblem. Abgerufen am 15. Dezember 2020. </ref>.

Dabei können zwei Fragestellungen unterschieden werden. Existiert zu einer gegebenen Folge reeller Zahlen <math>(c_k)_{k \in \N_0}</math> eine Verteilungsfunktion <math>F</math>, so dass diese Zahlen die Folge der <math>k</math>-ten Momente für die Verteilungsfunktion bilden, dass also für ein Intervall <math>I \subseteq \R</math>

<math> c_k = \int_{I}x^k \mathrm{d}F(x), \quad k \in \N_0 </math>

gilt? Ist diese Verteilungsfunktion durch die Angabe der Momente eindeutig bestimmt?<ref name="Lex-272">Momentenproblem. In: Lexikon der Stochastik. S. 272. </ref>

Varianten des Momentenproblems

Die Bezeichnung Momentenproblem wurde von Thomas Jean Stieltjes eingeführt, der das Problem 1894 erstmals ausführlich untersuchte und dabei die Bezeichnungen und Konzepte aus der Mechanik übernahm.<ref name="stieltjes" /><ref name="gene" /><ref name="shohat" /> Je nach Träger der Verteilung (das ist das Komplement der größten offenen Menge vom Maß null), werden unterschiedliche Varianten des Momentenproblems unterschieden.

Hamburgersches Momentenproblem

Beim Hamburgerschen Momentenproblem werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf <math>I = \R = (-\infty,\infty)</math> betrachtet. Eine Verteilungsfunktion <math>F</math> mit der Eigenschaft

<math> c_k = \int_{\R}x^k \mathrm{d}F(x), \quad k \in \N_0 </math>

existiert genau dann, wenn <math>c_0 = 1</math> und für beliebige <math>n \in \N</math>, <math>x_0,x_1,\dots,x_n\in \R</math> die Beziehung

<math> \sum_{j,k=0}^{n} c_{j+k}x_jx_k \geq 0 </math>

gilt.<ref name="Lex-272"/> Dabei ist im Allgemeinen die Verteilungsfunktion <math>F</math> nicht eindeutig bestimmt.<ref name="Lex-272"/> Eine hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit von <math>F</math> ist die Bedingung von Carleman

<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[2n]{c_{2n}}} = \infty\;.</math><ref name="Lex-272"/>

Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt.<ref> Galen R. Shorack: Probability for Statisticians (= Springer Texts in Statistics). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98953-6, Theorem 8.2, S. 293. </ref> Die Verteilungsfunktion einer Lognormalverteilung ist nicht eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt, da es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit denselben Momenten gibt.<ref>Galen R. Shorack: Probability for Statisticians (= Springer Texts in Statistics). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98953-6, Exercise 8.4, S. 293. </ref><ref>C. C. Heyde: On a property of the lognormal distribution. In: Journal of the Royal Statistical Society, Series B. Band 25, Nr. 2, 1963, S. 392–393. </ref>

Beim Stieltjesschen Momentenproblem ist <math>I = [0,\infty)</math>.<ref name="Lex-272"/> Beim Hausdorffschen Momentenproblem ist <math>I</math> ein beschränktes Intervall; o. B. d. A. <math>I= [0,1]</math>.<ref name="Lex-272"/>

Trigonometrisches Momentenproblem

Eine weitere Variante ist das trigonometrische Momentenproblem, bei dem die Verteilung auf einem Einheitskreis in Abhängigkeit vom Winkel, also ein trigonometrisches Moment gesucht wird.<ref name="landau" /> Gegeben sei eine Folge <math>(d_k)_{k \in \N_0}</math> komplexer Zahlen. Unter welchen Voraussetzungen existiert eine Verteilungsfunktion auf dem Intervall <math>[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft

<math> d_k = \int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}F(x), \quad k \in \N_0 </math>

und ist diese Verteilungsfunktion eindeutig?

Die Antwort gibt ein Satz von Gustav Herglotz, der besagt, dass eine Verteilungsfunktion mit diesen Eigenschaften genau dann existiert, wenn <math>d_0 = 1</math> und für beliebige <math>n \in \N</math>, <math>\xi_0,\xi_1,\dots,\xi_n\in \C</math> die Beziehung

<math> \sum_{j,k=0}^{n} d_{j+k}\xi_j\xi_k \geq 0 </math>

gilt.<ref name="Lex-272"/> In diesem Fall ist <math>F</math> eindeutig bestimmt.<ref name="Lex-272"/>

Eine Variante der Fragestellung ergibt sich, wenn nur endlich viele Konstanten <math>d_0,d_1,\dots,d_n</math> gegeben sind und eine Verteilungsfunktion mit der Eigenschaft

<math> d_k = \int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}F(x), \quad k = 1,\dots,n </math>

gesucht ist. Dieses Problem heißt gestutztes Momentenproblem (engl. truncated moment problem).<ref>Henry J. Landau: Moments in Mathematics. S. 3. </ref>

Datei:Standard deviation diagram.svg

Beispiel: Bei gegebenem Mittelwert <math>\mu</math> und Varianz <math>\sigma^2</math> (sowie alle weiteren Kumulanten gleich 0) ist die Normalverteilung die passende Verteilung zu den Momenten.

Literatur

• Momentenproblem (moment problem). In: P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 271–272. 

Einzelnachweise

<references> <ref name="stieltjes"> Thomas Jean Stieltjes: Recherches sur les Fractions continues. 1894 (numdam.org [PDF]).  </ref> <ref name="gene"> Gene H. Golub, Gérard Meurant: Matrices, Moments and Quadrature with Applications. Princeton University Press, 2009, ISBN 1-4008-3388-4, S. 15 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  </ref> <ref name="shohat"> James Alexander Shohat, Jacob David Tamarkin: The Problem of Moments. American Mathematical Society, 1943, ISBN 0-8218-1501-6, S. vii (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  </ref> <ref name="landau"> Henry J. Landau: Moments in Mathematics. American Mathematical Society, 1987, ISBN 0-8218-0114-7, S. 1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  </ref> </references>