Wesentliche Erweiterung
Der Begriff der wesentlichen Erweiterung stammt aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie, genauer aus der Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring R mit einem vom Nullelement verschiedenen Einselement. Dort werden wesentliche Erweiterungen hauptsächlich dazu benötigt, injektive Hüllen zu definieren.
Definition
Sei R ein kommutativer Ring mit einem vom Nullelement verschiedenen Einselement und seien M und N zwei R-Moduln mit
- <math>M\subseteq N.</math>
Dann heißt N wesentliche Erweiterung von M, wenn für jeden R-Untermodul U von N mit <math> U \ne 0</math> gilt:
- <math>U\cap M\ne 0.</math>
Bemerkungen
Sind M und N zwei R-Moduln mit <math>M\subseteq N\,</math>. Dann gibt es einen Untermodul E von N, der maximale wesentliche Erweiterung von M in N ist. Ist N ein injektiver Modul, so ist auch E injektiv.
Wesentliche Erweiterungen graduierter Moduln über graduierten Ringen werden analog definiert.
Literatur
- David Eisenbud: Commutative algebra with a view toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, no. 150, Springer Verlag, New York 2004, S. 628, 631. ISBN 0-387-94269-6