Gestreckte Exponentialfunktion
Die als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnete mathematische Funktion ist eine Verallgemeinerung der Exponentialfunktion mit einem zusätzlichen Parameter <math>\beta>0</math> im Exponenten:
- <math>\phi(t) = e^{-\left( t /\tau \right)^\beta }</math>
oder, mit <math>\alpha=\tau^{-\beta}</math>:
- <math>\phi(t) = e^{-\alpha\,t^\beta }</math>.
In den meisten Anwendungen ist <math>\beta<1</math>, was mit der namensgebenden Streckung einhergeht: Die Funktion fällt langsamer ab als die gewöhnliche Exponentialfunktion mit <math>\beta=1</math>. Für <math>\beta>1</math> erhält man die gestauchte Exponentialfunktion, für <math>\beta=2</math> die Gaußfunktion. Anwendung ist unter anderem die Weibull-Verteilung.
Die gestreckte Exponentialfunktion wurde 1854 von Rudolf Kohlrausch eingeführt, um die Relaxation der elektrischen Polarisation eines Kondensators mit Glasdielektrikum zu beschreiben.<ref>R. Kohlrausch: Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche. In: Annalen der Physik und Chemie Bd. 91, 1854, S. 56–82, 179–214; online (S. 56–82) online (S. 179–214).</ref>
Die gestreckte Exponentialfunktion wird auch als Kohlrausch-Funktion oder Kohlrausch-Williams-Watts-Funktion, nach Graham Williams und David C. Watts bezeichnet, die diese 1970 wieder entdeckten.<ref name=":0">G. Williams, D. C. Watts: Non-Symmetrical Dielectric Relaxation Behaviour Arising from a Simple Empirical Decay Function. In: Transactions of the Faraday Society Bd. 66, 1970, S. 80–85; doi:10.1039/TF9706600080</ref>
In der Physik wird die gestreckte Exponentialfunktion oft zur Beschreibung von Relaxationsprozessen in ungeordneten Materialien (z. B. glasbildende Flüssigkeiten und amorphe Polymere) benutzt.<ref name=":0" /><ref>Peter Lunkenheimer, Ulrich Schneider, Robert Brand, Alois Loidl: Glassy dynamics. In: Contemporary Physics. Band 41, Nr. 1, 2000, S. 15–36, doi:10.1080/001075100181259.</ref>
Einzelnachweise
<references/>