Total normaler Raum

Total normale Räume sind im mathematischen Teilgebiet der Topologie normale Räume, in denen jede offene Menge eine Zusatzeigenschaft hat. Diese Räume wurden 1953 von Clifford Hugh Dowker eingeführt.<ref name="Dowker_Orig" />

Definition

Ein normaler Raum heißt total normal, wenn jede offene Menge eine lokal endliche Überdeckung aus offenen F_σ-Mengen besitzt.<ref name="Dowker_Def" />

Diese recht technischen Bedingungen bedeuten im Einzelnen: Jede offene Menge <math>U</math> des Raumes <math>X</math> ist eine Vereinigung <math>\textstyle U=\bigcup_{i\in I}U_i</math>, wobei Folgendes gilt:

• <math>I</math> ist eine Indexmenge und jedes <math>U_i\subset X</math> ist offen. (Übereckung durch offene Mengen)
• Jeder Punkt <math>x\in U</math> besitzt eine offene Umgebung <math>V</math>, so dass <math>V\cap U_i\not=\emptyset</math> nur für endlich viele Indizes gilt. (Lokale Endlichkeit der Überdeckung)
• Jede Menge <math>U_i</math> ist abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen. (F_σ-Eigenschaft)

In normalen Räumen <math>X</math> ist die F_σ-Eigenschaft einer offenen Menge <math>U</math> äquivalent zur Existenz einer stetigen Funktion <math>f\colon X\rightarrow [0,1]</math>, so dass <math>U=\{x\in X\mid f(x)\not=0\}</math>. Ersetzt man die F_σ-Eigenschaft obiger Definition durch diese Äquivalenz, so erhält man eine alternative Definition.<ref name="Nagami_Def" />

Beispiele

• Perfekt normale Räume sind total normal, denn in solchen Räumen ist jede offene Menge schon eine F_σ-Menge.<ref name="Dowker_PerfektNormal" /><ref name="Nagami_PerfektNormal" /> Insbesondere sind also alle metrischen Räume total normal.
• Erblich parakompakte Räume, das sind parakompakte Hausdorff-Räume, deren sämtliche Teilräume ebenfalls parakompakt sind, sind total normal.<ref name="Dowker_Parakompakt" /><ref name="Nagami_Parakompakt" />
• Sei <math>X</math> eine überabzählbare Menge, <math>Y=\mathcal{P}(X)</math> die Potenzmenge von <math>X</math> und <math>F=2^Y</math> die Menge aller Funktionen <math>Y\rightarrow \{0,1\}</math>.

Auf <math>F</math> erklären wir nun eine Topologie. Für jedes <math>x\in X</math> sei <math>f_x\in F</math> die Indikatorfunktion der Menge <math>\{y\in Y\mid x\in y\}</math>, das heißt <math>f_x(y)=1</math> genau dann, wenn <math>x\in y</math>, und <math>F_0</math> sei die Menge aller Funktionen <math>f_x</math>, <math>x\in X</math>. Weiter sei <math>Y_0</math> die Menge der endlichen Teilmengen von <math>Y</math> und für jedes <math>f_x\in F_0</math> und <math>r\in Y_0</math> sei <math>(f_x:r):=\{f\in F\mid f(y)=f_x(y)\text{ für alle }y\in r\}</math>. Die Topologie auf <math>F</math> wird nun dadurch erklärt, dass zu jedem Element <math>f\in F</math> eine Umgebungsbasis angegeben wird. Für Elemente <math>f\in F\setminus F_0</math> sei <math>\{f\}</math> offen, insbesondere also eine Umgebungsbasis, und für alle <math>f=f_x\in F_0</math> nehme man <math>\{(f_x:r)\mid r\in Y_0\}</math> als Umgebungsbasis. Dieser auf R. H. Bing zurückgehende topologische Raum ist total normal, aber nicht perfekt normal.<ref name="Nagami_Bing" />

Eigenschaften

• Total normale Räume sind vollständig normal.<ref name="Dowker_VollständigNormal" /><ref name="Nagami_VollständigNormal" />
• Teilräume total normaler Räume sind wieder total normal.<ref name="Dowker_Subspace" /><ref name="Nagami_Subspace" />

Total normale Räume zeigen bezüglich der großen induktiven Dimension <math>\operatorname{Ind}</math> das erwartete Verhalten, sie erfüllen den Teilmengensatz und den Summensatz.<ref name="Dowker_Dimension" /><ref name="Nagami_Dimension" />, das heißt

• Ist <math>X</math> total normal und <math>Y\subset X</math>, so gilt <math>\operatorname{Ind}(Y)\le \operatorname{Ind}(X)</math>.
• Ist <math>X</math> total normal und <math>(Y_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Überdeckung aus abgeschlossenen Mengen, so gilt <math>\mathrm{Ind}(X)\le \sup_{n\in \N}\mathrm{Ind}(Y_n)</math>

Einzelnachweise

<references> <ref name="Dowker_Orig"> </ref> <ref name="Dowker_Def"> Dowker, Definition auf Seite 170 </ref> <ref name="Nagami_Def"> Nagami, Definition 7.1 auf Seite 42 </ref> <ref name="Dowker_PerfektNormal"> Dowker, 4.1 auf Seite 170 </ref> <ref name="Nagami_PerfektNormal"> Nagami, Satz 7.2 auf Seite 42 </ref> <ref name="Dowker_Parakompakt"> Dowker, 4.2 auf Seite 170 </ref> <ref name="Nagami_Parakompakt"> Nagami, Satz 7.3 auf Seite 42 </ref> <ref name="Dowker_VollständigNormal"> Dowker, 4.6 auf Seite 173 </ref> <ref name="Nagami_VollständigNormal"> Nagami, Satz 7.4 auf Seite 42 </ref> <ref name="Dowker_Subspace"> Dowker, 4.7 auf Seite 173 </ref> <ref name="Nagami_Subspace"> Nagami, Satz 7.5 auf Seite 43 </ref> <ref name="Nagami_Bing"> Nagami, Beispiel 2.3 auf Seite 7 und Bemerkung 7.6 auf Seite 43 </ref> <ref name="Dowker_Dimension"> Nagami, Abschnitt 5, Seite 173 </ref> <ref name="Nagami_Dimension"> Nagami, Satz 11.5 auf Seite 61 </ref> </references>