Milstein-Verfahren
Das Milstein-Verfahren der stochastischen Analysis bezeichnet eine Methode für die numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen (SDGL), benannt nach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein (Staatliche Gorki-Universität des Uralgebiets).
Algorithmus
Betrachte die Itō-SDGL
- <math>\mathrm{d} X_{t} = a(X_{t}) \, \mathrm{d} t + b(X_{t}) \, \mathrm{d} W_{t},</math>
mit Anfangsbedingung <math>X_{0} = x_{0}</math>, wobei <math>W_{t}</math> den Wiener-Prozess bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall <math>[0, T]</math> gefunden werden, so erhält man durch das Milstein-Verfahren eine Approximation <math>Y</math> für die wahre Lösung <math>X</math> auf einem äquidistanten Gitter:
- Zerlege das Intervall <math>[0, T]</math> in <math>N</math> gleich lange Teilintervalle der Länge <math>\delta > 0</math>:
- <math>0 = \tau_{0} < \tau_{1} < \dots < \tau_{N} = T</math> und <math>\delta = \tfrac{T}{N}</math>.
- Setze <math>Y_0 := x_{0}</math>.
- Definiere <math>Y_{n+1}</math> für <math>0 \leq n < N</math> durch
- <math>Y_{n + 1} := Y_{n} + a(Y_{n}) \delta + b(Y_{n}) \Delta W_{n} + \frac{1}{2} b(Y_{n}) b'(Y_{n}) \left( (\Delta W_{n})^{2} - \delta \right),</math>
wobei
- <math>\Delta W_{n} = W_{\tau_{n + 1}} - W_{\tau_{n}}</math>
und <math>b'</math> die Ableitung von <math>b(x)</math> bezüglich <math>x</math> ist. Beachte, dass die Zufallsvariablen <math>\Delta W_{n}</math> unabhängig normalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz <math>\delta</math>.
Konvergenz
Mit den obigen Bezeichnungen gilt <math>E[|Y_n-X(\tau_n)|] = \hbox{o}(\delta)\;</math> für <math>\delta \to 0</math> und alle <math>n = 0, ..., N</math>, weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht. <math>\hbox{o}</math> ist dabei ein Landau-Symbol.