Dodekaederstumpf
Der Dodekaederstumpf (auch abgestumpftes Dodekaeder) ist ein Polyeder (Vielflächner), das durch Abstumpfung der Ecken eines Pentagon-Dodekaeders entsteht und zu den archimedischen Körpern zählt. Anstatt der 20 Ecken des Dodekaeders befinden sich nun dort ebenso viele gleichseitige Dreiecke; die zwölf Fünfecke des Dodekaeders werden zu regelmäßigen Zehnecken. Der Dodekaederstumpf besitzt 60 Ecken und 90 Kanten.
Der zum Dodekaederstumpf duale Körper ist das Triakisikosaeder.
Kartesische Koordinaten
Die geraden Permutationen von
<math display="block"> \left(0, \pm \frac{1}{\Phi}, \pm (2 + \Phi) \right), \qquad \left(\pm \frac{1}{\Phi}, \pm \Phi, \pm 2 \Phi \right), \qquad \left(\pm \Phi, \pm 2, \pm (\Phi + 1) \right) </math>
ergeben ein abgestumpftes Dodekaeder mit Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge <math>2 \Phi - 2</math>. Dabei ist <math>\Phi = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> das Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Formeln
| Größen eines abgestumpften Dodekaeders mit Kantenlänge a | |
|---|---|
| Volumen | <math>V = \frac{5}{12}\,a^3 \left(99 + 47\sqrt{5} \right) </math> |
| Oberflächeninhalt | <math>A_O = 5 a^2 \left(\sqrt{3}+6\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right) </math> |
| Umkugelradius | <math>R = \frac{a}{4} \sqrt{74 + 30\sqrt{5}} </math> |
| Kantenkugelradius | <math>r = \frac{a}{4} \left(5 + 3\sqrt{5} \right) </math> |
| 1. Flächenwinkel (Dekagon–Dekagon) ≈ 116° 33′ 54″ |
<math> \cos \, \alpha_1 = -\frac{1}{5} \sqrt{5} </math> |
| 2. Flächenwinkel (Dekagon–Trigon) ≈ 142° 37′ 21″ |
<math> \cos \, \alpha_2= -\sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{15}} </math> |
| 3D-Kantenwinkel (Dekagon–Trigon) ≈ 159° 5′ 41″ |
<math> \cos \, \beta = -\frac{\sqrt{3}}{6} \left(1+\sqrt{5}\right) </math> |
| Eckenraumwinkel ≈ 1,2323 π |
<math> \Omega = 2 \pi - \arccos \left(-\frac{1}{3} \sqrt{5}\right) </math> |
| Sphärizität ≈ 0,92601 |
<math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {100\,\pi \left(10\,423 + 4\,653 \sqrt{5}\right)}} {10 \left(\sqrt{3} + 6 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}\right)} </math> |
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Dodekaederstumpf. In: MathWorld (englisch).
- Mathematische Basteleien: Abgestumpftes Dodekaeder
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