Dirichlet-Funktion
Die Dirichlet-Funktion (nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, manchmal auch als Dirichletsche Sprungfunktion<ref>Grundzüge der Höheren Mathematik | Integrierbare Funktionen – Oliver Deiser | aleph1. Abgerufen am 1. März 2026.</ref> bezeichnet) ist eine mathematische Funktion. Eine ihrer Eigenschaften ist es, Lebesgue-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar zu sein.
Definition
Die Dirichlet-Funktion wird üblicherweise mit <math>D</math> bezeichnet. Sie ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen. Somit ist sie definiert als:
- <math>D\colon \R\to\R,\quad x\mapsto D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational,} \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational.} \end{cases}</math>
Eigenschaften
Die Dirichlet-Funktion ist ein Beispiel für
- eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches unstetige Funktion,
- eine Funktion der zweiten Klasse in der Klassifikation von Baire:
- <math>D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)</math>,
- eine Lebesgue-integrierbare Funktion, die aber nicht Riemann-integrierbar ist.
- eine beschränkte Funktion, deren Supremum nicht mit ihrem wesentlichen Supremum (bzgl. des Lebesgue-Maßes) übereinstimmt.
Riemann-Integrierbarkeit
Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung <math>Z</math> im Teilintervall <math>\left [ x_{k-1}, x_k \right ]</math> stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit
- die Untersumme <math>U(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)</math>
stets 0 ist (weil das Infimum stets 0 ist) und
- die Obersumme <math>O(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)</math>
stets die Länge des Intervalls, über das integriert wird, ist (weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).
Riemann-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:
- <math>\begin{matrix}\text{Oberintegral} & = & \text{kl. Obersumme} & = & \text{gr. Untersumme} & = & \text{Unterintegral} \\ \overline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx & = & \inf_ZO(Z) & = & \sup_ZU(Z) & = & \underline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx\end{matrix}</math>
Da aber für jede beliebige Zerlegung die Unter- und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist <math>D</math> auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.<ref>Übungsaufgabe mit Lösung. Uni Konstanz, abgerufen am 1. März 2026.</ref>
Lebesgue-Integrierbarkeit
Da die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion ist, also eine messbare Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nicht negativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall <math>I</math> wie folgt schreiben:
- <math>\int_{I} D\, {\mathrm d}\lambda = 0 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) + 1 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{Q})</math>,
wobei <math>\lambda</math> für das Lebesgue-Maß steht.
Bei jedem beliebigen Wert von <math>\lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})</math> ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der Maßtheorie auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist <math>\lambda(I \cap \mathbb{Q})</math> stets 0, da die Punktmenge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen abzählbar und somit eine <math>\lambda</math>-Nullmenge ist.
Insgesamt ergibt sich damit für die Dirichlet-Funktion in jedem Intervall:
- <math>\int_{I} D\,{\mathrm d}\lambda = 0</math>.
Verwandte Funktion
Eine verwandte Funktion ist auf <math>[0;1]</math> wie folgt definiert:
- <math>f(x) := \begin{cases} 1,& \mbox{wenn } x=0, \\ 0, & \mbox{wenn } x \mbox{ irrational,} \\ \frac 1q, & \mbox{wenn } x=\frac pq \mbox{ mit } p, q \in \N \mbox{ und } \operatorname{ggT}(p,q)=1. \end{cases}</math>
Sie ist an jeder rationalen Stelle ihres Definitionsbereichs unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig und im Gegensatz zur Dirichlet-Funktion auch Riemann-integrierbar:
- <math>\int\limits_0^1 f(x) {\mathrm d}x = 0</math>.
Sie wird unter anderem etwa Thomaesche Funktion genannt.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Dirichlet-Funktion. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
<references />