Subnormale
Die Subnormale ist ein Begriff aus der Analysis. Ist eine Kurve differenzierbar in einer Stelle <math>x_0</math>, so ist die Subnormale die Strecke zwischen der Stelle <math>x_0</math> auf der Abszisse und der Nullstelle der Normalen. In der nebenstehenden Abbildung ist die betrachtete Kurve rot und die Normale in <math>x_0</math> grün dargestellt. Die Projektion der Normalen auf die Abszisse heißt Subnormale (gelb).
Über die Gleichung der Normalen
- <math>n(x)=\frac{-1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0)+f(x_0)</math>
gelangt man zur Nullstelle <math>x_s=f(x_0) \cdot f'(x_0)+x_0</math> und somit zur Subnormalen <math>|f(x_0) \cdot f'(x_0)|</math>.
Der Betrag der Subnormalen der <math>e</math>-Funktion <math>f(x)=e^x</math> ist für alle Normalen <math>e^{2x}</math>, da gilt:
- <math>|f(x_0) \cdot f'(x_0)| = |e^{x_0} \cdot e^{x_0}| = e^{2x_0}</math>.
Bei Parabeln, die zur <math>x</math>-Achse symmetrisch sind, hat die Subnormale an allen Stellen <math>x_0</math> dieselbe Länge. Mit der Funktionsgleichung
- <math>f(x) = \pm \sqrt{2a(x-c)} </math>,
wobei <math>a \ne 0</math> und <math>c</math> feste Parameter sind, ergibt sich die Länge <math>|f(x_0) \cdot f'(x_0)| = |a|</math>.
Als Analogie zur Tangente gibt es die Subtangente.
Literatur
- Guido Walz: Lexikon der Mathematik – Band 5. Springer, 2. Auflage 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 142 (online auf spektrum.de)
