Harris-Kette

Eine Harris-Kette, benannt nach dem Mathematiker Theodore E. Harris, ist eine spezielle Markow-Kette in diskreter Zeit auf einem messbaren Zustandsraum. Harris-Ketten sind unter anderem interessant, da man für diese Ergodensätze formulieren kann.

Definition

Sei <math>(S, \Sigma)</math> ein messbarer Raum. Sei <math>(X_n)_{n \in \N_0}</math> eine Markow-Kette auf dem Zustandsraum <math>(S, \Sigma)</math> mit Übergangskern <math>P</math>. Dann heißt <math>(X_n)_{n \in \N_0}</math> Harris-Kette<ref>Rick Durret: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, Abschnitt 6.8, S. 318ff (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).</ref>, falls es Mengen <math>A, B \in \Sigma</math>, ein <math>\varepsilon > 0</math> und ein Wahrscheinlichkeitsmaß <math>\rho</math> auf <math>(S, \Sigma)</math> mit <math>\rho(B) = 1</math> existieren, so dass gilt:

1. Für alle <math>x_0 \in S</math> gilt <math>\text{P}(\tau_A < \infty \mid X_0 = x_0) > 0</math> und
2. für alle <math>x\in A</math> und alle messbaren <math>C \subseteq B</math> gilt <math>P(x,C) \geq \varepsilon \rho(C)\,.</math>

Dabei bezeichnet <math>\tau_A = \inf\{n \in \N_0 : X_n \in A\}</math> den ersten Eintrittszeitpunkt der Kette in die Menge <math>A</math>.

Einzelnachweise

<references />