Parabolic Blending

Parabolic Blending ist ein Verfahren, um eine glatte Kurve durch eine Folge von Punkten zu legen. Man kann es je nach Problemstellung als explizite Darstellung y=y(x) oder als Parameterdarstellung x=x(t),y=y(t) verwenden.<ref>Nadia Magnenat-Thalmann, Daniel Thalmann: Image Synthesis: Theory and Practice. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 978-4-431-68060-4 (google.com [abgerufen am 4. Januar 2024]). </ref><ref>Olcay Ekşi, Hakan Üstünel: Application of parabolic blending for the estimation of thickness distribution in thermoformed products. In: Journal of Elastomers & Plastics. Band 53, Nr. 6, Oktober 2021, ISSN 0095-2443, S. 583–598, doi:10.1177/0095244320959801 (sagepub.com [abgerufen am 4. Januar 2024]). </ref> In jedem Intervall zwischen zwei Punkten Nr. i und i+1 werden zwei quadratische Polynome gebildet:

<math>

  p(x) 
  = 
  \frac{
     (x-x_{i})(x-x_{i+1})
  }{
     (x_{i-1}-x_{i})(x_{i-1}-x_{i+1})
  } y_{i-1}
  + 
  \frac{
     (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})
  }{
     (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})
  } y_i
  + 
  \frac{
     (x-x_{i-1})(x-x_{i})
  }{
     (x_{i+1}-x_{i-1})(x_{i+1}-x_{i})
  } y_{i+1}

</math>

<math>

  q(x) 
  = 
  \frac{
     (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})
  }{
     (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})
  } y_i
  + 
  \frac{
     (x-x_{i-1})(x-x_{i})
  }{
     (x_{i+1}-x_{i-1})(x_{i+1}-x_{i})
  } y_{i+1}
  +
  \frac{
     (x-x_{i})(x-x_{i+1})
  }{
     (x_{i+2}-x_{i})(x_{i+2}-x_{i+1})
  } y_{i+2}

</math> Um die Funktion y(x), die nur durch einzelne Punkte gegeben ist, zwischen dem Punkt Nr. i und dem Punkt Nr. i+1 darzustellen, werden beide Parabeln in diesem Intervall linear gemischt:

<math>

  y(x) = 
  \frac{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_i} p(x)
  +\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i} q(x)

</math> Der allererste und der allerletzte Punkt wird dadurch nicht Teil der Kurve, sondern steuert die Tangente.

Das Verfahren stammt ursprünglich aus dem Schiffsentwurf, allerdings reicht seine Qualität nicht aus, um damit Schiffslinien zu generieren oder zu glätten, denn die Krümmung ist unstetig. Es stellte im Schiffsentwurf ein primitives, einfaches und schnelles Verfahren dar, um Spantrisse zu visualisieren.

Einzelnachweise

Siehe auch