Entartung (Quantenmechanik)
Vorlage:Hinweisbaustein Von Entartung spricht man in der Quantenmechanik, wenn zum selben Messwert (Eigenwert) einer Observablen mehrere, voneinander linear unabhängige Eigenzustände existieren.<ref>Gerhard Franz: Quantenphysik - Quantenmechanik. 1. Auflage. de Gruyter, Oldenbourg 2024, ISBN 978-3-11-123798-5, S. 9.</ref>
Als Entartungsgrad, Entartungsfaktor oder Multiplizität wird die Anzahl n der linear unabhängigen Eigenzustände zum gleichen Eigenwert bezeichnet. Diese spannen den n-dimensionalen Unterraum zum selben Eigenwert auf. Man nennt den Eigenwert dann n-fach entartet.<ref>Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 182.</ref>
Zwei Zustände, die zum selben entarteten Eigenwert einer Observablen gehören, können folglich durch Messung dieser Observablen nicht voneinander unterschieden werden. Allerdings lässt sich zu jedem n-fach entarteten Eigenwert eine zweite Observable finden, die mit der ersten kommensurabel ist und in dem zum entarteten Eigenwert gehörenden Unterraum genau n Eigenzustände mit n verschiedenen Eigenwerten besitzt.
Entartung ist in vielen Fällen Folge einer Symmetrie des physikalischen Systems.<ref>Walter Greiner: Theoretische Physik - ein Lehr- und Übungsbuch: Band 5 Quantenmechanik II Symmetrien. 1. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 1979, ISBN 3-87144-259-3, S. 17.</ref> So führt Rotationssymmetrie des Hamiltonoperators um beliebige Achsen zu einer Energieentartung. Die entarteten Zustände lassen sich hier in der Regel durch ihre verschiedenen Eigenwerte zu einer Drehimpulskomponente unterscheiden. Umgekehrt folgt aus der Entartung eines Eigenwerts einer Observablen immer, dass diese invariant unter jeder unitären Transformation des zugehörigen Eigenraums ist.
Beispiele zur Entartung
Entartung im Wasserstoffatom
In der nichtrelativistischen Beschreibung des Wasserstoffatoms sind alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl entartet. Diese Entartung lässt sich auf die Symmetrie des Zweikörperproblems mit einem Potential <math>\propto (-\tfrac{1}{r})</math> zurückführen.
| Hauptquantenzahl <math>n</math> |
Drehimpuls-QZ <math>l = 0 \ldots n-1</math> |
Orbital | magnetische QZ <math>m_l = -l \ldots 0 \ldots +l</math> |
Entartungsgrad: <math>\sum_{l=0}^{n-1}{(2l+1)} = n^2</math>-fach |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | s | 0 | 1 |
| 2 | 0 | s | 0 | 4 |
| 1 | p | −1, 0, +1 | ||
| 3 | 0 | s | 0 | 9 |
| 1 | p | −1, 0, +1 | ||
| 2 | d | −2, −1, 0, +1, +2 |
Die Berücksichtigung des Elektronenspins (die so genannte Feinstruktur) hebt diese Entartung teilweise auf.<ref name="Weinberg143">Steven Weinberg: Quantenmechanik - Eine Einführung des Nobelpreisträgers. Pearson Studium, München 2015, ISBN 978-3-86894-263-7, S. 143.</ref> Korrekturen aufgrund der Wechselwirkung mit dem Kern (Hyperfeinstruktur)<ref name="Weinberg143"/> und aufgrund der Quantenelektrodynamik (Lambshift)<ref name="Weinberg143"/> reduzieren die Entartung weiter, bis auf die Entartung in den Komponenten des Gesamtdrehimpulses, die wegen der Rotationssymmetrie erhalten bleibt.
Entartung bei der Teilchenbewegung in einem Potential mit gerader Parität
Bei gerader Parität <math>V(\vec r)=V(-\vec r)</math> ist der Hamilton-Operator
- <math>\mathcal H=\frac{{\vec{p}}^2}{2m}+V(\vec{r})</math>
ebenfalls von gerader Parität <math>\mathcal H(-\vec r)=\mathcal H(\vec r)</math>. Er vertauscht mit dem Paritätsoperator <math>\langle\vec{r}|\Pi|\psi\rangle=\psi(-\vec r)</math>:<ref>Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 193.</ref> <math>[\Pi,\mathcal{H}] =0</math>.
Für einen Eigenzustand <math>|\psi\rangle</math> des Hamilton-Operators
- <math>\mathcal H|\psi\rangle=E|\psi\rangle,</math>
mit der Eigenschaft, dass er keine bestimmte Parität besitzt, bedeutet das, dass <math>\Pi|\psi\rangle</math> nicht parallel zu <math>|\psi\rangle</math> ist. In diesem Fall ist <math>\Pi|\psi\rangle</math> ein weiterer Eigenzustand des Hamilton-Operators <math>\mathcal H</math> mit gleichem Energieeigenwert. Dies folgt aus der Eigenschaft, dass<ref>Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 198.</ref> <math>[\Pi,\mathcal{H}] =0</math>
- <math>\mathcal H\,\Pi|\psi\rangle=\Pi\,\mathcal H|\psi\rangle=\Pi\, E|\psi\rangle=E\,\Pi|\psi\rangle</math>
Damit ist der Energieeigenwert <math>E</math> entartet.
Dies gilt insbesondere für das freie Teilchen mit <math>V=0</math>.
Entartung der Energie der Teilchen in einem zweidimensionalen Kasten mit unendlich hohen Wänden
Das Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden sei über einer quadratischen Grundfläche definiert als:
- <math>V_\infty(x,y)=\begin{cases} 0\quad \text{ für }0 \le x,y\le a & \\ \infty\quad \text{für }x,y< 0 \text{ oder }x,y>a \end{cases}</math>
Der Hamilton-Operator eines Teilchens mit der Masse <math>m</math> in diesem Potentialtopf lautet:<ref>Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 199.</ref>
- <math>\mathcal H=\tfrac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2)+V_\infty(x)+V_\infty(y)=\mathcal H_x+\mathcal H_y</math>
Er setzt sich aus den eindimensionalen Hamilton-Operatoren <math>\mathcal H_x</math> und <math>\mathcal H_y</math> eines Teilchens in einem Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden zusammen, mit den jeweiligen Energieeigenwerten:<ref>Eckhard Rebhan: Theoretische Physik: Quantenmechanik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-8274-1718-3, S. 101.</ref>
- <math>E_x=\tfrac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}n_x^2</math> und <math>E_y=\tfrac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}n_y^2</math> mit <math>n_x,n_y\ge1</math>.
Die Gesamtenergie ergibt sich damit zu:
- <math>E_{n_xn_y}=E_x+E_y=\tfrac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}(n_x^2+n_y^2)</math>
Da <math>E_{n_xn_y}=E_{n_yn_x}</math> tritt Entartung auf, wenn <math>n_x\neq n_y</math>. Ein Beispiel ist <math>E_{13}=\tfrac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\cdot10=E_{31}</math>. Diese Entartung ist nicht zufällig, sondern beruht wegen der quadratischen Form der Grundfläche auf der Symmetrie des Systems gegen Vertauschung <math>x \rightleftharpoons y </math>. Ein Beispiel für zufällige Entartung ist <math>E_{17}=\tfrac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\cdot50=E_{55}</math>.
Entartung beim kugelsymmetrischen Oszillator
Die potentielle Energie eines kugelsymmetrischen Oszillators mit der Masse <math>m</math>, der Kreisfrequenz <math>\omega</math> und dem Radius <math>r</math> ist
- <math>V=\tfrac12 m\omega^2r^2</math>
Die Schrödinger-Gleichung lautet dann <ref name="Weinberg68">Steven Weinberg: Quantenmechanik - Eine Einführung des Nobelpreisträgers. Pearson Studium, München 2015, ISBN 978-3-86894-263-7, S. 68.</ref>
- <math>E\,|\psi\rangle= \mathcal{H} \,|\psi\rangle =-\tfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\,|\psi\rangle+ \tfrac12 m\omega^2r^2 |\psi\rangle </math>
Mit <math>r^2=x^2+y^2+z^2</math> und <math>\nabla^2=\tfrac{\partial^2\,\,\,}{\partial x^2}+ \tfrac{\partial^2\,\,\,}{\partial y^2} + \tfrac{\partial^2\,\,\,}{\partial z^2} =\partial^2_x+ \partial^2_y + \partial^2_z </math> kann die Lösung <math> |\psi\rangle </math> separiert werden in ein Produkt aus Einzellösungen <math> |\psi\rangle = |\psi_x\rangle |\psi_y\rangle |\psi_z\rangle </math> von denen jede die Schrödinger-Gleichungen des eindimensionalen harmonischen Oszillators erfüllt:
- <math>E_\alpha\,|\psi_\alpha\rangle =-\tfrac{\hbar^2}{2m}\partial_\alpha^2\,|\psi_\alpha\rangle+ \tfrac12 m\omega^2\alpha^2 |\psi_\alpha\rangle \quad E_\alpha =\hbar\omega(n_\alpha+\tfrac12)</math>
Dabei ist <math>\alpha=x,y,z</math> und <math>n_\alpha=n_x,n_y,n_z</math> sind ganze Zahlen <math>n_\alpha\ge0</math> und die Gesamtenergie beträgt: <ref name="Weinberg69">Steven Weinberg: Quantenmechanik - Eine Einführung des Nobelpreisträgers. Pearson Studium, München 2015, ISBN 978-3-86894-263-7, S. 69.</ref>
- <math>E= E_x+E_y+E_z= \hbar\omega(n_x+n_y+n_z +\tfrac32)= \hbar\omega(N +\tfrac32)</math>
Nur der Grundzustand <math> N=0 </math> ist nicht entartet. Für <math> N=n_x+n_y+n_z\ge1 </math> gibt es zu gegebenen <math> n_x </math> und <math> n_y </math> genau ein festes <math> n_z </math>. Die Entartung <math> \mathcal N </math> ist dann die Anzahl der Möglichkeiten drei positive und eventuell verschwindende Zahlen <math> n_x,n_y,n_z </math> zu <math> N </math> zusammen zu addieren:<ref name="Weinberg48">Steven Weinberg: Quantenmechanik - Eine Einführung des Nobelpreisträgers. Pearson Studium, München 2015, ISBN 978-3-86894-263-7, S. 48.</ref><ref>I.N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1980, ISBN 3-87144-492-8, S. 166.</ref>
- <math> \mathcal N_N=\sum_{n_x=0}^{N}\sum_{n_y=0}^{N-n_x}1 =\sum_{n_x=0}^{N}(N-n_x+1)=(N+1)^2-\tfrac12N(N+1)=\tfrac12(N+1)(N+2)</math>
Beispiele: <math>\mathcal N_0=1</math>, <math>\mathcal N_1=3</math>, <math>\mathcal N_2=6\ldots</math>
Mit diesem einfachen Modell lassen sich die unteren magischen Zahlen <math>4=4\cdot\mathcal N_0</math>, <math>16=4\cdot(\mathcal N_0+\mathcal N_1)</math> und <math>40=4\cdot(\mathcal N_0+\mathcal N_1+\mathcal N_2)</math> der höheren Stabilität von Atomkernen erklären.<ref>Torsten Fließbach: Quantenmechanik - Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2012, ISBN 978-3-8274-2020-6, S. 207.</ref> Jeder Zustand kann mit zwei Protonen und zwei Neutronen mit jeweils entgegengesetztem Spin besetzt werden. Im Schalenmodell sind damit die Isotope <math>^{4}\text{He}</math>, <math>^{16}\text{O}</math> und <math>^{40}\text{Ca}</math> besonders stabil und haben eine hohe Bindungsenergie.
Siehe auch
Einzelnachweise
<references />