Kommutative Algebra

Die kommutative Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik im Bereich der Algebra, das sich mit kommutativen Ringen sowie deren Idealen, Moduln und Algebren befasst. Sie ist grundlegend für die Gebiete der algebraischen Geometrie und der algebraischen Zahlentheorie. Ein wichtiges Beispiel für kommutative Ringe sind Polynomringe.

Als Begründer der kommutativen Algebra kann man David Hilbert nennen.<ref></ref><ref>Otto Toeplitz: Der Algebraiker Hilbert. In: Die Naturwissenschaften. Band 10, Nr. 4, Januar 1922, ISSN 0028-1042, S. 73–77, doi:10.1007/BF01591616. </ref> Er scheint die Idealtheorie (so wurde die kommutative Algebra ursprünglich genannt) als alternativen Zugang zu zahlreichen Fragestellungen angesehen zu haben, der die damals dominierende Funktionentheorie ablösen könnte. In diesem Zusammenhang waren ihm strukturelle Aspekte wichtiger als algorithmische; mit der wachsenden Leistungsfähigkeit von Computeralgebrasystemen haben aber konkrete Berechnungen stark an Bedeutung innerhalb der kommutativen Algebra gewonnen.<ref>Martin Kreuzer, Lorenzo Robbiano: Computational Linear and Commutative Algebra. Springer International Publishing, Cham 2016, ISBN 978-3-319-43599-2, doi:10.1007/978-3-319-43601-2. </ref> Das Konzept der Moduln, das in Grundzügen auf Leopold Kronecker zurückgeht, verallgemeinert die Theorie der Ideale, die es als Spezialfall enthält. Diese Methoden wurden von Emmy Noether in die kommutative Algebra eingeführt und sind heute unverzichtbar.<ref>Noémie Combe: "Without Emmy Noether, there would be a huge gap in mathematics and its understanding". Max-Planck-Gesellschaft, abgerufen am 28. Oktober 2022 (). </ref><ref></ref>

Die Theorie allgemeiner Ringe, die nicht kommutativ sein müssen, wird als nichtkommutative Algebra bezeichnet.<ref>Benson Farb, R. Keith Dennis: Noncommutative Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 144). Springer New York, New York, NY 1993, ISBN 978-1-4612-6936-6, doi:10.1007/978-1-4612-0889-1. </ref>

Übliche Annahmen

In der kommutativen Algebra werden die Bezeichnungen Modul, Ring und Algebra üblicherweise in einem engeren Sinn benutzt:

• Alle Moduln sind unitär: Wenn <math>1</math> das Einselement des Ringes ist, dann gilt für alle Elemente des Moduls:

<math>1 \cdot m = m</math>

• Alle Ringe sind unitär und kommutativ.
• Homomorphismen zwischen Ringen bilden Einselemente auf Einselemente ab.
• Ein Unterring hat dasselbe Einselement wie der Oberring.
• Alle Algebren sind unitär, kommutativ und assoziativ.

Literatur

Lehrwerke & Monografien

• Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
• Jürgen Böhm: Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2019, ISBN 978-3-662-59481-0, doi:10.1007/978-3-662-59482-7. 

Einzelnachweise

<references />