Hilbert-Symbol

Das Hilbert-Symbol (nach David Hilbert) ist eine Kurzschreibweise, die in der algebraischen Zahlentheorie verwendet wird. Für einen lokalen Körper <math>K</math> mit der multiplikativen Gruppe <math>K^*</math> ist es definiert als die folgende Abbildung:

<math>\begin{align}

K^*\times K^* &\rightarrow \{-1,1\}\\ (a,b) &\mapsto \begin{cases} 1, & \text{falls} \ z^2=ax^2+by^2 \ \text{eine nicht} \mbox{-} \text{triviale Lsg.}\ (x,y,z)\in K^3 \ \text{besitzt}; \\

                           -1,    & \text{sonst}

\end{cases} \end{align} </math> Hierbei heißt eine Lösung trivial, wenn <math>x=y=z=0</math> gilt.

Eigenschaften

• Ein Element <math>a</math> in <math>K^*</math> ist ein Quadrat genau dann, wenn <math>(a,b)= 1</math> für alle <math>b\in K^*</math> gilt.
• Für alle <math>a,b</math> in <math>K^*</math> gilt: <math>(a,b) = (b,a)</math>.
• Für alle <math>a, b_1, b_2</math> in <math>K^*</math> gilt: <math>(a,b_1b_2) = (a,b_1)(a,b_2)</math>.
• Für alle <math>a</math> in <math>K^*</math> mit <math>a\neq 1</math> gilt <math>(a,1-a)=1</math>.

Literatur

• Jean-Pierre Serre: A course in arithmetic (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 7). Springer, New York NY u. a. 1973, ISBN 3-540-90040-3.

Weblinks

• Todd Rowland: Hilbert Symbol. In: MathWorld (englisch).