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2025-02-11T17:15:34Z

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[[Datei:Solenoid-1.png|mini|Zylinderspule]]
Eine '''Zylinderspule''' ist eine [[Spule (Elektrotechnik)|Spule]], bei der die Drahtwicklung auf einem [[Zylinder (Geometrie)|Zylindermantel]] liegt, also dünn gegenüber dem Zylinderdurchmesser ist. In der Regel ist sie einlagig. Einlagige Zylinderspulen haben einen [[Helix|helixförmigen]] Verlauf des Drahtes.

Eine Zylinderspule hat üblicherweise einen im Verhältnis zum [[Durchmesser]] kleinen Abstand der Drahtwindungen voneinander und damit eine vergleichsweise hohe Anzahl von Windungen pro Länge.

Eine Zylinderspule mit einem großen Verhältnis Länge zu Durchmesser ist zum Erzeugen eines homogenen [[Magnetismus|Magnetfeldes]] in ihrer Mitte geeignet (solenoidales Magnetfeld) und wird manchmal auch als '''Solenoid''' bezeichnet.

Bauformen von Zylinderspulen sind unter [[Luftspule]] beschrieben.

Im Grenzfall einer sehr kurzen Länge geht die Zylinderspule in eine kreisförmige [[Leiterschleife]] über.

== Technische Bedeutung ==
Zylinderspulen haben neben der einfachen Berechenbarkeit folgende Merkmale:
* besonders für hohe Frequenzen geeignet und hohe Eigenresonanzfrequenz wegen der geringen kapazitiven Kopplung zwischen den Windungen und Anschlüssen im Vergleich zu mehrlagigen Spulen oder [[Toroidspule]]n
* für hohe Spannungen besser geeignet wegen der entfallenden Lagenisolation
* größere Abmessungen, jedoch bessere Abführung der Verlustwärme als mehrlagige Spulen gleicher Induktivität

Ausgehend von diesen Eigenschaften werden Zylinderspulen als Hochfrequenzdrossel („UKW-Drossel“) und allgemein zur Herstellung von Induktivitäten bei hohen Frequenzen eingesetzt.

Zylinderspulen lassen sich abgleichen, indem ihre Windungen auseinandergebogen oder -gezogen werden. Wird ein Aluminium- oder Ferrit- bzw. Eisenpulverkern eingeschoben (siehe auch [[Spule (Elektrotechnik)#Variometer|Variometer]]), ist der damit erreichbare Variationsbereich höher als bei einer kurzen, mehrlagigen Spule.

Übereinander, jeweils als Zylinderspule ausgebildete Wicklungen von Transformatoren sind durch eine geringe Selbstinduktion (Streuinduktivität) geprägt und sind nicht vom [[Proximity-Effekt (Elektrotechnik)|Proximity-Effekt]] betroffen.

Der Teilchendetektor [[Compact Muon Solenoid]] (CMS) am [[CERN]] ist ein Beispiel für eine besonders große Zylinderspule.

== Magnetfeld ==
[[Datei:VFPt Solenoid correct2.svg|mini|Magnetfeld einer Zylinderspule (im Querschnitt). Die Drahtwicklungen sind durch „×“ (Strom fließt in die Bildebene hinein) und „·“ (Strom fließt aus der Bildebene heraus) markiert.]]
[[Datei:Solenoid.png|mini|Magnetfeld einer Zylinderspule mit zehn Windungen. Die Schnittebene verläuft axial durch das Zentrum.]]
[[Datei:Ideal-solenoid-field-3D-2.png|mini|Magnetfeld <nowiki>|B|</nowiki> einer idealen Zylinderspule. Die Schnittebene verläuft axial durch das Zentrum. An den Endkanten [[Polstelle|divergiert]] das radiale Feld.]]
Das [[Magnetische Flussdichte|Magnetfeld]] ''B'' einer idealen Zylinderspule kann durch [[Integralrechnung|Integration]] des [[Biot-Savart-Gesetz]]es berechnet werden. Die Spule habe die Windungszahl ''N'', [[Stromstärke]] ''I'', Länge ''l'' und Radius ''R''. Wir bezeichnen die Zylinderachse durch den [[Einheitsvektor]] <math>\hat{z}</math>, wobei ''z'' vom Mittelpunkt der Spule in Richtung der [[Magnetismus#Richtungsregeln|Korkenzieherregel]] gemessen wird. Der Abstand zur Zylinderachse sei ''ρ'' mit entsprechendem Einheitsvektor <math>\hat{\rho}</math> ([[Zylinderkoordinaten]]). Dann besitzt das erzeugte Feld nur eine axiale und radiale, aber keine azimutale Komponente:
:<math>\vec{B}(\rho\,\hat{\rho}+z\,\hat{z}) = B_\rho(\rho,z)\,\hat{\rho} + B_z(\rho,z)\,\hat{z}</math>
Die Feldkomponenten betragen:
<ref>{{Literatur |Autor=J. C. Maxwell |Titel=Electricity and Magnetism |Verlag=Clarendon Press |Ort=Oxford, England |Datum=1873 |Online=https://archive.org/stream/electricandmag02maxwrich#page/n337/mode/2up}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Karl Friedrich Müller |Titel=Berechnung der Induktivität von Spulen |Sammelwerk=Archiv für Elektrotechnik |Band=17 |Nummer=3 |Datum=1926-05-01 |ISSN=1432-0487 |Seiten=336–353 |Online=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01655986 |DOI=10.1007/BF01655986}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Kuno Foelsch |Titel=Magnetfeld und Induktivität einer zylindrischen Spule |Sammelwerk=Archiv für Elektrotechnik |Band=30 |Nummer=3 |Datum=1936-03-03 |ISSN=1432-0487 |Seiten=139–157 |Online=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01657310 |DOI=10.1007/BF01657310}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=E. E. Callaghan, S. H. Maslen |Titel=The Magnetic Field of a Finite Solenoid |Sammelwerk=NASA Technical Reports |Band=NASA-TN-D-465 |Nummer=E-900 |Datum=1960-10-01 |Online=https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19980227402}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=M. W. Garrett |Titel=Calculation of Fields, Forces, and Mutual Inductances of Current Systems by Elliptic Integrals |Sammelwerk=Journal of Applied Physics |Band=34 |Nummer=9 |Datum=1963-09 |Seiten=2567–2573 |DOI=10.1063/1.1729771}}</ref><ref>Herleitung: {{Webarchiv |url=http://nukephysik101.files.wordpress.com/2021/07/finite-length-solenoid-potential-and-field-1.pdf |text=Finite length Solenoid potential and field |format=PDF |wayback=20210719191335}}, abgerufen am 10. Juli 2021.</ref>
:<math>B_\rho = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{NI}{l}\frac{1}{\rho}\left[\sqrt{(\rho + R)^2 + \zeta^2}\Bigl((2-m)\,K(m)-2\,E(m)\Bigr)\right]_{\zeta=z+l/2}^{\zeta=z-l/2}</math>
:<math>B_z = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{NI}{l}\left[\frac{\zeta}{\sqrt{(\rho + R)^2 + \zeta^2}}\left(\frac{\rho-R}{\rho+R}\,\Pi(n, m)-K(m)\right)\right]_{\zeta=z+l/2}^{\zeta=z-l/2}</math>
Der Inhalt der eckigen Klammern wird subtrahiert gemäß <math>[f(x)]_{x=a}^{x=b}=f(b)-f(a)</math>. Hierbei wurde die [[magnetische Feldkonstante]] ''μ<sub>0</sub>'', die [[Substitution (Mathematik)|Substitutionen]]
:<math>m = 4R\rho / \left((\rho + R)^2 + \zeta^2\right)</math>,     <math>n=4R\rho / (\rho + R)^2</math>
sowie die vollständigen [[Elliptisches Integral#Vollständige elliptische Integrale|elliptischen Integrale]] erster (''K''), zweiter (''E'') und dritter Art (''Π'') verwendet:
:<math>K(m)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{1-m \sin^2\varphi }}}\, \mathrm{d}\varphi</math>
:<math>E(m)=\int_0^{\pi/2}{\sqrt{1-m \sin^2 \varphi} }\, \mathrm{d}\varphi</math>
:<math>\Pi(n,m)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{(1-n \sin^2\varphi)\sqrt{1-m \sin^2\varphi }}}\, \mathrm{d}\varphi</math>
Neben der Darstellung durch die klassischen elliptischen Integrale existieren auch alternative Ausdrücke mit verbesserter [[Stabilität (Numerik)|numerischer Stabilität]] und effizienter Berechenbarkeit, beispielsweise mit [[Symmetrische Carlson-Form|Carlson-Formen]].<ref name="DerbyOlbert2010">{{Literatur |Autor=Norman Derby, Stanislaw Olbert |Titel=Cylindrical magnets and ideal solenoids |Sammelwerk=American Journal of Physics |Band=78 |Nummer=3 |Datum=2010 |ISSN=0002-9505 |Seiten=229–235 |arXiv=0909.3880 |DOI=10.1119/1.3256157}}</ref>

Entlang der Zylinderachse vereinfacht sich das Feld:
:<math>\vec{B}(z\,\hat{z}) = \hat{z}\,\mu_0\frac{NI}{2l} \left( \frac{z+l/2}{\sqrt{R^2+(z+l/2)^2}} - \frac{z-l/2}{\sqrt{R^2+(z-l/2)^2}}\right)</math>
Im Zentrum der Spule beträgt das Feld exakt:
:<math>\vec{B}(0) = \hat{z}\,\mu_0\frac{NI}{\sqrt{(2R)^2+l^2}}</math>
Für lange Spulen <math>l \gg 2R</math> beträgt das Feld überall im Inneren, außer nahe den Enden
:<math>\vec{B} \approx \hat{z}\,\mu_0 \frac{NI}{l}</math>
und sinkt und außerhalb weit weg von den Spulenenden schnell auf Null ab. Für große Abstände <math>\rho^2+z^2 \gg R^2+(l/2)^2</math> nähert sich das Feld einem [[Dipolfeld]] mit [[Magnetisches Dipolmoment|magnetischem Moment]] <math>\vec{m}=NIR^2\pi\,\hat{z}</math> an:<ref name="DerbyOlbert2010" />
:<math>\vec{B}(\rho\,\hat{\rho}+z\,\hat{z}) \approx \frac{\mu_0}{4}NIR^2\frac{3\rho z\,\hat{\rho}+(2z^2-\rho^2)\hat{z}}{\sqrt{\rho^2+z^2}^5}</math>

Das Magnetfeld der Zylinderspule entspricht exakt dem eines homogen magnetisierten zylinderförmigen [[Stabmagnet]]en mit [[Magnetisierung]] <math>M</math>, wobei <math>NI\;{\widehat{=}}\;Ml</math>.<ref name="DerbyOlbert2010" />

== Induktivität ==
Die [[Induktivität]] einer Zylinderspule im Vakuum beträgt<ref name="DerbyOlbert2010" />
:<math>L = \frac{8\mu_0 N^2 R^2}{3\,l} \left(\frac{1}{2k}\operatorname{cel}\left(k, 1, 1, 2k^2\right) - \frac{R}{l}\right), \quad k=\frac{l/2}{\sqrt{R^2+(l/2)^2}}</math>.
Hierbei ist cel das elliptische [[Elliptisches Integral#Bulirsch-Integrale|Bulirsch-Integral]] und [[Magnetische Feldkonstante|<math>\mu_0</math>]] ist die [[Magnetische Feldkonstante]]. Für konkrete Aspektverhältnisse ist dies:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! <math>l/R</math>
| 0,01
| 0,1
| 0,5
| 1
| 2
| 5
| 10
| 100
| ∞
|-
! <math>L\bigg/\frac{\mu_0 N^2 R^2\pi}{l}</math>
| 0,0197
| 0,124
| 0,365
| 0,526
| 0,688
| 0,850
| 0,920
| 0,9916
| 1
|}

Eine einfache Näherungsformel für nicht zu kurze Spulen ist
:<math>L \approx \frac{\mu_0 N^2 R^2 \pi}{l+0{,}9\cdot R}</math>.
Diese Formel hat für <math>l > 0{,}8R</math> weniger als 1 % Fehler.<ref>{{Literatur |Autor=H. A. Wheeler |Titel=Simple Inductance Formulas for Radio Coils |Sammelwerk=Proceedings of the Institute of Radio Engineers |Band=16 |Nummer=10 |Datum=1928 |Seiten=1398–1400 |DOI=10.1109/JRPROC.1928.221309}}</ref>

Im Fall einer sehr langen Zylinderspule (<math>l\gg R</math>) mit Querschnittsfläche <math>A=R^2 \pi</math> lässt sich die Näherung noch weiter vereinfachen:
:<math>L \approx \frac{\mu_0 N^2 A}{l}</math>.

Bei Spulen mit [[Ferromagnetismus|ferromagnetischem]] [[Spule (Elektrotechnik)#Spulenkerne|Kern]] ist die Formel nicht mehr anwendbar, da der äußere Teil des Feldes nun relevant wird. Handelt es sich jedoch um einen ''geschlossenen'' magnetischen Kreis in der Form eines hochpermeablen Rahmens, auf den die Spule gewickelt ist, kann statt der Spulenlänge dessen mittlerer Umfang – das ist die mittlere magnetische Weglänge – und statt des Spulenquerschnittes sein mittlerer Querschnitt eingesetzt werden. Die Induktivitätsberechnung erfordert dann noch die Multiplikation mit der [[Permeabilitätszahl]] <math>\mu_r</math> des Kernmaterials.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4191387-5}}

[[Kategorie:Induktanz]]

Zylinderspule - Versionsgeschichte

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