imported>Wassermaus: /* Relativistische Effekte */ überflüssige Klammern in Formel weg

2026-04-16T10:20:45Z

Relativistische Effekte: überflüssige Klammern in Formel weg

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Die '''Zyklotronfrequenz''' (auch '''Gyrationsfrequenz''') ist die Umlauffrequenz geladener Teilchen (meist [[Elektron]]en) im homogenen [[Magnetismus|Magnetfeld]]. Ein mit der Zyklotronfrequenz schwingendes [[Elektrisches Feld|elektrisches Wechselfeld]] wird in der [[Teilchenphysik]] zur Beschleunigung der Teilchen in [[Zyklotron]]en verwendet.<ref>{{Literatur|Titel=Kompaktkurs Physik: Mit virtuellen Experimenten und Übungsaufgaben|Autor=Harry Pfeifer, Herbert Schmiedel, Ralf Stannarius|Verlag=Springer DE|Jahr=2004|Seiten=246|Online={{Google Buch|BuchID=Z6mBuYZBUcIC}}}}</ref>

== Allgemeines ==
Die Zyklotronfrequenz ist proportional zur [[magnetische Flussdichte|magnetischen Flussdichte]] <math>B</math> und hängt von der Masse <math>m</math> und der [[elektrische Ladung|Ladung]] <math>q</math> des Teilchens folgendermaßen ab:<ref>{{Literatur|Titel=Mechanik, Berkeley Physik Kurs 1|Autor=Charles Kittel, Walter D. Knight, Malvin A. Ruderman, A Carl Helmholz, Burton J Moyer|Verlag=Springer|Jahr=2001|Online={{Google Buch|BuchID=3GUIzXTDOw4C}}}}</ref>

:<math>f = \frac{|q|\cdot B}{2\pi\cdot m}</math> .

Die Zyklotronfrequenz ist unabhängig vom Bahnradius und der Geschwindigkeit der Teilchen. Das führt überall zu einer charakteristischen Absorption elektromagnetischer Wellen (siehe [[Zyklotronresonanz]]), wo sich geladene freie Teilchen in einem Magnetfeld bewegen. Da für Teilchen mit einem [[Magnetisches Dipolmoment|magnetischen Moment]] auch die [[Larmorfrequenz]] proportional zum Magnetfeld ist, ist der Quotient beider Frequenzen konstant und gleich dem halben [[Landé-Faktor]].

Der Name Zyklotronfrequenz stammt vom [[Teilchenbeschleuniger]] [[Zyklotron]]. Hier wird die Unabhängigkeit der Umlauffrequenz von der Geschwindigkeit ausgenutzt, um geladene Teilchen im Magnetfeld mit einem elektrischen Wechselfeld fester Frequenz zu beschleunigen.

== Herleitung ==
Im Magnetfeld wirkt die [[Lorentzkraft]] als [[Zentripetalkraft]] und lenkt geladene Teilchen auf eine Kreisbahn ab. Ihre Gesamtgeschwindigkeit wird dabei nicht verändert, somit bleibt auch der Betrag der Lorentzkraft gleich. Es entsteht eine gleichförmige Kreisbewegung:

:<math>F_\mathrm{Lorentz} = F_\mathrm{Zentripetal}</math>

:<math>|q| v B = \frac{m v^2}{r}</math>

:<math>\left. |q| B = \frac{m v}{r} \qquad\right| v = \omega r = 2\pi fr</math>

:<math>|q| B = m 2\pi f\frac{}{}</math>

:<math>f = \frac{|q| B}{2\pi m}</math>

== Relativistische Effekte ==
Die obige Beziehung gilt nur, wenn <math>v</math> vernachlässigbar klein gegenüber der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> ist. Die [[Spezielle Relativitätstheorie|relativistische]], für alle Geschwindigkeiten gültige Formel lautet

:<math>f = \frac{1}{\gamma} \cdot\frac{|q| B}{2\pi m_0} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \cdot \frac{|q| B}{2\pi m_0}</math>,

wobei <math>\gamma</math> der [[Lorentz-Faktor]] ist.

==Weiteres==
Als Zyklotron-Energie bezeichnet man

:<math>\hbar\omega_c</math>,

wobei <math>\hbar</math> die [[reduzierte Planck-Konstante]] ist und

:<math>\omega_c = 2\pi f</math>

die Kreisfrequenz.

Abhandlungen, die das [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußsche CGS-System]] mit der Flussdichte <math>B</math> in der Einheit [[Gauß (Einheit)|Gauß]], die Ladung <math>q</math> in der Einheit [[Franklin (Einheit)|Franklin]] und die Masse m in der Einheit [[Gramm]] verwenden, definieren die Zyklotronfrequenz üblicherweise als

:<math>\omega_c=\frac{|q|\cdot B}{m\cdot c} </math>

Die Landau’sche magnetische Länge beträgt

:<math>\ell_B=\sqrt{\hbar c/|q|B}</math>

Häufig werden auf diese Weise Gleichungen, in denen das Magnetfeld <math>B</math> durch <math>\hbar\omega_c</math> und <math>\ell_B</math> ausgedrückt ist, formal identisch mit den entsprechenden Gleichungen im [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Einheitensystem (SI)]]:

:<math>\omega_c=\frac{|q|\cdot B}{m} </math>
:<math>\ell_B=\sqrt{\hbar/|q|B}</math>

==Einzelnachweise==
<references />
[[Kategorie:Beschleunigerphysik]]

Zyklotronfrequenz - Versionsgeschichte

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