imported>Succu: /* Siehe auch */ wiseo?

2025-11-27T22:30:30Z

Siehe auch: wiseo?

Neue Seite

[[Datei:Cycloid f.gif|mini|Ein Fixpunkt auf einem rollenden Kreis zeichnet eine Zykloide]]
Die '''(gewöhnliche) Zykloide''' (v. [[Latein|lat.]] ''cyclus'' bzw. {{grcS|κύκλος}} ''kýklos'' = Kreis und ειδής ''-eidés'' = ähnlich) ist die Bahn, die ein Punkt auf dem Umfang eines [[Kreis (Geometrie)|Kreises]] beschreibt, wenn dieser Kreis auf einer Geraden abrollt.<ref name="Bronstein-102">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=102 |Kommentar=Abweichende Bezeichnung: a statt r}}</ref> Wegen ihrer Form wird sie auch als '''gespitzte Zykloide''' bezeichnet. Sie ist eine spezielle [[#Trochoide|Trochoide]] und gehört damit zu den [[Rollkurve]]n.

Verwandte Begriffe sind die [[Epizykloide]] (allgemeiner die Epitrochoide) und die [[Hypozykloide]] (allgemeiner die Hypotrochoide). Manchmal wird der Begriff „Zykloide“ so allgemein verwendet, dass diese Kurventypen eingeschlossen sind.

== Geschichtliches ==
Wer zuerst die Zykloide entdeckt bzw. näher untersucht hat, ist uns trotz ihrer einfachen Entstehungsweise – Betrachtung eines markierten Punktes auf einem bewegten Wagenrad – nicht überliefert. ''Nichts also hindert uns, anzunehmen, daß die Alten die Cykloide gekannt haben.''<ref>{{Literatur |Autor=Gino Loria, übersetzt von Fritz Schütte |Titel=Spezielle algebraische und transscendente ebene Kurven. Die Cykloiden |Verlag=B.G. Teubner |Ort=Leipzig |Datum=1902 |Seiten=460 |Online=https://ia600605.us.archive.org/25/items/abr0252.0001.001.umich.edu/abr0252.0001.001.umich.edu.pdf#page=484&zoom=130,338,528}}</ref> Der anscheinend so einfache Verlauf der Linie lässt sich aber nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruktiv darstellen.

Das 1503 auf Latein als ''Geometricae introductionis libri sex'' in Paris erschienene Werk von [[Charles de Bouelles]] stellt vermutlich die früheste dokumentierte Betrachtung der mathematischen Kurve dar, die durch die Bewegung eines Punktes auf einem rollenden Kreis entlang einer Linie entsteht. Dabei verbindet Bouvelles die Zykloide mit geometrischen und metaphysischen Überlegungen. Bouelles behandelt diese Kurve in Zusammenhang mit der [[Quadratur des Kreises]].

Die zweite Veröffentlichung zu Zykloiden erfolgte 1570 durch [[Gerolamo Cardano]], der dabei unter anderem die [[Cardanische Kreise|cardanischen Kreise]] beschreibt.<ref>Gerolamo Cardano (1501–1576), Opus novum de proportionibus, 1570</ref> [[Galileo Galilei]] unternahm 1598 weitere geometrische Untersuchungen von Zykloiden.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Mainzer |Titel=Geschichte der Geometrie |Auflage=1. |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Gotha |Datum=1980 |ISBN=3-411-01575-6 |Seiten=89}}</ref>

Das 17. Jahrhundert, das als „Goldenes Zeitalter der Analysis“ gilt, war auch für die Untersuchung der Zykloide relevant. So beschäftigten sich die besten Mathematiker und Naturwissenschaftler mit dieser besonders ästhetischen Kurve.

Die erste Flächen- und Längenberechnung an einer Zykloide gelang 1629 dem Italiener [[Bonaventura Cavalieri]].<ref name="Brummelen-113">{{Literatur |Autor=Glen Van Brummelen |Titel=The Doctrine of Triangles – A History of Modern Trigonometry |Verlag=Princeton University Press |Ort=Kassel |Datum=2021 |ISBN=978-0-691-17941-4 |Seiten=113}}</ref> Weitere Forschungsanstöße lieferte im gleichen Jahr der Franzose [[Marin Mersenne]].<ref>{{Literatur |Autor=Margaret E. Baron |Titel=The Origins of Infinitesimal Calculus |Auflage= |Verlag=Elsevier |Ort=Amsterdam |Datum=2014 |ISBN=978-1-4832-8092-9 |Seiten=156}}</ref>

Weitere Fortschritte durch Quadraturen schafften 1634 [[Gilles Personne de Roberval]]<ref name="Brummelen-113" /> und 1635 [[René Descartes]] und [[Pierre de Fermat]]. Roberval gelang 1638 eine Tangentenkonstruktion,<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Mainzer |Titel=Geschichte der Geometrie |Auflage=1. |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Gotha |Datum=1980 |ISBN=3-411-01575-6 |Seiten=100}}</ref> 1641 gelang dies auch [[Evangelista Torricelli]]. Torricelli entwickelte bis 1643 eine Quadratur in Beziehung zur Schraubenlinie. Der Engländer [[Christopher Wren]] zeigte 1658, dass die Länge einer Zykloide gleich dem Vierfachen des Durchmessers des generierenden Kreises ist.

Im Juni 1658 veröffentlichte [[Blaise Pascal]] unter dem [[Pseudonym]] Amos Dettonville einen Wettbewerb für die Lösung von sechs Problemen zur Zykloide: Bestimmung der von der Zykloide umschlossenen Fläche, Bestimmung des Schwerpunktes der umschlossenen Fläche, Berechnung der Volumina von Rotationskörpern um beide Achsen und Bestimmung der Schwerpunkte dieser Körper. Er wusste nicht, dass Roberval bereits in den 1630er Jahren die ersten vier Ergebnisse veröffentlicht hatte.<ref>{{Literatur |Autor=Douglas M. Jesseph |Titel=Descartes, Pascal, and the epistemology of mathematics : the case of the cycloid |Sammelwerk=Perspectives on science |Reihe=historical, philosophical, social |Band=15 |Datum=2007 |Seiten=425}}</ref>

Eine Quadratur über eine unendliche Reihe erfolgte 1664 durch [[Isaac Newton]].<ref>{{Literatur |Autor=C.H. Edwards Jr. |Titel=The Historical Development of the Calculus |Verlag=Springer |Ort=Kassel |Datum=1979 |ISBN=0-387-90436-0 |Seiten=207}}</ref> [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] entwickelte 1673 die Quadratur über die [[Quadratrix]].<ref>{{Literatur |Autor=C.H. Edwards Jr. |Titel=The Historical Development of the Calculus |Verlag=Springer |Ort=Kassel |Datum=1979 |ISBN=0-387-90436-0 |Seiten=250}}</ref> Der Niederländer [[Christiaan Huygens]] schaffte 1673 die [[Evolute]]nbestimmung<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Mainzer |Titel=Geschichte der Geometrie |Auflage=1. |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Gotha |Datum=1980 |ISBN=3-411-01575-6 |Seiten=102}}</ref> und Tautochronie.

Leibniz stellte 1686 die Integraldarstellung fertig. Die letzte wichtige Erkenntnis war 1697 die [[Brachistochrone]]neigenschaft durch [[Johann I Bernoulli]].<ref>{{Literatur |Autor=Glen Van Brummelen |Titel=The Doctrine of Triangles – A History of Modern Trigonometry |Verlag=Princeton University Press |Ort=Kassel |Datum=2021 |ISBN=978-0-691-17941-4 |Seiten=177}}</ref>

== Mathematische Darstellung der Zykloide ==
Eine Zykloide kann als analytische [[Gleichung]] und in [[Parameterdarstellung]] dargestellt werden. Die Parameterdarstellung lautet<ref name="Bronstein-102" />

:<math>x = r (t - \sin (t)), \quad y = r (1 - \cos (t)),</math>

wobei <math>r</math> den Radius des Kreises und <math>t</math> den Parameter („Wälzwinkel“) bezeichnet. Aus dieser lässt sich der Parameter <math>t</math> eliminieren. Die analytische Gleichung lautet

:<math> x(y)= r \arccos \left(1 - \frac{y}{r}\right) - \sqrt{y(2r - y)},</math>

beschreibt aber nur den Teil der Zykloide mit <math>0 \le x \le r \pi</math>.

== Eigenschaften der Zykloide ==
Die gewöhnliche Zykloide ist eine periodische Kurve mit der Periode <math>2 \pi r</math>. Sie besteht aus weiten Bögen, die in Spitzen zusammenlaufen. Anschaulich gesprochen bewegt sich ein Punkt auf einem Reifen eines fahrenden Fahrrades (näherungsweise das [[Ventil]]) auf einer gewöhnlichen Zykloide.

Eine [[Brachistochrone]] beziehungsweise Tautochrone entsteht durch [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] einer Zykloide an der [[Abszisse|x-Achse]].

=== Länge ===

Die Länge der gewöhnlichen Zykloide mit der Parameterdarstellung <math>x(t) = r(t - \sin(t)), \quad y(t) = r(1 - \cos(t))</math> im Intervall <math>[a, b]</math> kann mit dem Integral <math>\int\limits_a^b\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2}\,\mathrm dt</math> berechnet werden. Mit den Ableitungen <math>\dot x(t) = r(1 - \cos(t))</math> und <math>\dot y(t) = r \sin(t)</math> ergibt sich für die Länge eines Bogens<ref name="Bronstein-102" />
:<math>L= \int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(r(1 - \cos(t)))^2 + (r \sin(t))^2}\,\mathrm dt = 8r.</math>

=== Fläche ===

Durch Verwendung der Parameterdarstellung <math display="inline"> x = r(t - \sin t), \ y = r(1 - \cos t)</math> für <math>0 \leq t \leq 2 \pi</math>
ergibt sich der Inhalt der Fläche zwischen einem Bogen der Zykloide und der Geraden:<ref name="Bronstein-102" />
:<math> A = \int\limits_0^{2 \pi r} y \, \mathrm{d}x
= \int\limits_0^{2 \pi} r^2 (1 - \cos t)^2 \, \mathrm{d}t = 3 \pi r^2.
</math>

Die Fläche ist also dreimal so groß wie die Fläche des rollenden Kreises.

=== Krümmungsradius ===

Für den durch den Parameterwert <math>t</math> gegebenen Kurvenpunkt beträgt der [[Krümmungskreis|Krümmungsradius]]<ref name="Bronstein-102" />
:<math>r_K = 4 r \sin \left(\tfrac{1}{2} t \right).</math>
Speziell für die Scheitelpunkte gilt <math>r_K = 4 r.</math>

=== Evolute, Evolvente, Katakaustik ===
[[Datei:Evolute of cycloid.gif|mini|Evolute einer Zykloide]]
Die [[Evolute]] (der [[Geometrischer Ort|geometrische Ort]] der Mittelpunkte aller [[Krümmungskreis]]e) einer Zykloide ist wieder eine Zykloide. Sie entsteht aus der gegebenen Zykloide durch [[Parallelverschiebung]] mit dem Verschiebungsvektor <math>\begin{pmatrix} \pm \pi r\\ -2r \end{pmatrix}</math>.

Die [[Evolvente]] (Involute) einer Zykloide (also die Kurve, die durch Abwicklung der Tangente entsteht) ist wieder eine Zykloide. Sie ist zur gegebenen Zykloide kongruent.

Auch die [[Katakaustik]] der Zykloide ist selbst wieder eine Zykloide.

=== Die Tautochronie der Zykloide ===
<div style="float:right;">[[Datei:Tautochrone curve.gif|mini|250px|Tautochronie der Zykloide]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:Isochronous cycloidal pendula.gif|mini|260px|Zykloidenpendel]]</div>
Vorausgesetzt, dass [[Luftwiderstand]] und [[Reibung]] zu vernachlässigen sind, gelangt ein frei beweglicher [[Massenpunkt]] von jedem Startpunkt auf einer umgedrehten Zykloide stets in derselben Zeit an den tiefsten Punkt.<ref>{{Internetquelle |autor=Ulrich Mende |url=https://www.mathe-gut-erklaert.de/pdfs/000_Brachistochrone.pdf#page=17&zoom=auto,-13,769 |titel=Brachistochrone - Ableitung, Eigenschaften und lineare Approximation |format=PDF |abruf=2023-09-24}}</ref> Diese Eigenschaft wird auch Tautochronie genannt (Linie gleicher Fallzeit; {{grcS|ταὐτό|tauto}} „dasselbe“, {{lang|grc|χρόνος|chronos}} „Zeit“).

Im 17. Jahrhundert zeigte [[Christiaan Huygens]], dass beim Zykloidenpendel – einem Fadenpendel, bei dem sich der Faden an einer (passenden) Zykloide abrollt – die Schwingungsdauer unabhängig von der [[Auslenkung]] ist.<ref>{{Internetquelle |url=https://archive.org/details/B-001-004-158/content/page/n83/mode/2up |titel=Horologium Oscillatorium |werk=Christiaan Huygens (1673) |abruf=2023-09-24}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.physik.uni-konstanz.de/vs/themen/mechanik/schwingung-resonanz/fadenpendel/zykloidenpendel/ |titel=Das Zykloidenpendel und die Brachistochrone |werk=www.physik.uni-konstanz.de |abruf=2023-09-24}}</ref>
{{Absatz}}

== Trochoide ==

Die '''Trochoide''' ({{grcS|τροχός}} ''trochos'' »Rad«) verallgemeinert den Begriff der Zykloide in naheliegender Weise: Der erzeugende Punkt hat vom Mittelpunkt des bewegten Kreises den Abstand <math>d > 0</math>. Folgende Typen werden unterschieden:<ref name="Bronstein-102f">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=102-103}}</ref>
* Verkürzte Zykloide (<math>d < r</math>)
* Verlängerte Zykloide (<math>d > r</math>)
* Gewöhnliche Zykloide (<math>d = r</math>)

Die Form einer gewöhnlichen Zykloide gleicht einer Aneinanderreihung weiter [[Kreisbogen|Bögen]], die verlängerte Zykloide weist an den Spitzen zwischen den Bögen noch Schleifen auf, während bei den verkürzten Zykloiden die Spitzen abgerundet sind.

Beliebige Trochoiden lassen sich durch folgende Parameterdarstellung beschreiben:

:<math> x = r t - d \sin(t), \quad y = r - d \cos(t).</math>

[[Datei:Zykloiden.svg|rahmenlos|zentriert|hochkant=2.5|Zykloiden]]

;Beispiele:
* Gewöhnliche Zykloiden werden von Punkten auf der Lauffläche eines Autoreifens oder sonstiger Laufräder (Eisenbahn, Seilbahn) und von den Punkten längs der Lauffläche rollender [[Murmeln]] beschrieben.
* Verkürzte Zykloiden werden von Punkten innerhalb der Lauffläche beschrieben, etwa von Seitenstrahlern oder von Punkten auf den [[Speiche (Rad)|Speichen]] eines Fahrrads oder auch Ansatzpunkten von [[Pleuelstange]]n bei einer [[Dampflokomotive]].
* Verlängerte Zykloiden werden von Punkten außerhalb der Lauffläche beschrieben; im Fall von [[Eisenbahn]]en wären das alle Punkte des [[Spurkranz]]es.

Gelegentlich wird der Begriff der Trochoide noch allgemeiner verwendet.

== Zykloidenverzahnung in der Getriebetechnik ==
In der [[Getriebe]]technik ist die [[Zykloidenverzahnung]] eine von mehreren Techniken zur [[Verzahnung]] von [[Zahnrad|Zahnrädern]] und [[Zahnstange]]n.
In [[Zykloidgetriebe]]n folgt die Kontur der Kurvenscheiben [[Äquidistante|äquidistant]] einer Zykloide.

== Trivia ==
Die Verwendung von Zykloiden und Trochoiden beim Zeichnen von [[Ornament]]en fand durch das Spielzeug [[Spirograph (Spielzeug)|Spirograph]] weite Verbreitung.

== Literatur ==
* Joachim Erven, Dietrich Schwägerl: ''Mathematik für Ingenieure''. Walter De Gruyter, 4. Auflage, 2011, ISBN 978-3-486-70796-0, S. [https://books.google.de/books?id=l9nnBQAAQBAJ&pg=PA211 211–215]
* Volker Jäkel: Einteilung einer eben bewegten Ebene in Felder mit qualitativ gleichen Koppelpunktbahnen unter besonderer Berücksichtigung der Übergangskurve, VDI Verlag GmbH, Düsseldorf 2000, ISBN 3-18-332401-6, Kapitel [https://books.google.de/books?id=9qp4pXZQmpsC&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q&f=false 4]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Trochoid|Trochoide}}
* {{Webarchiv |url=http://www.tfh-berlin.de/~schwenk/Lehrgebiete/heuer/Welcome.html |text=Die Eigenschaften der Zykloide aus mathematischer, physikalischer und historischer Sicht |wayback=20080323055836}}
* [http://www.kugelbahn.info/deutsch/schaukel/zyklo.html Mathematische Erklärung zu Zykloiden]
* [http://asti.vistecprivat.de/mathematik/zykloiden.html Ausführliche Erklärungen und Herleitungen]
* [https://publikationen.bibliothek.kit.edu/270011317 Cyclobahn, eine U-Bahn mit Zykloiden-Trasse]

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Zykloide - Versionsgeschichte

imported>Succu: /* Siehe auch */ wiseo?