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2021-08-13T21:12:20Z

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Ein '''zyklisches Polytop''' ist ein [[Polytop (Geometrie)#Konvexe Polytope|konvexes Polytop]] mit Ecken auf der [[Momentenkurve]]. Es ist für viele Fragen der kombinatorischen Theorie von Polytopen von großer Bedeutung, unter anderem für das [[Upper-Bound-Theorem]].

== Definition ==
Sei <math>x(t)=(t,t^2,\dotsc,t^d) \in \R^d</math> die Momentenkurve in der Dimension d.

Dann ist das zyklische Polytop <math>C(d,n)</math> die [[konvexe Hülle]] von n Punkten auf der Momentenkurve, wobei n nicht kleiner als d+1 ist.
: <math>C(d,n)=\mathrm{conv}({x(t_1),x(t_2),\dotsc,x(t_{n})})</math> mit <math>t_1 < t_2 < \cdots < t_n</math>

Es ist auch möglich, das zyklische Polytop auf anders definierten Momentenkurven zu definieren.

== Beispiele ==
Im Zweidimensionalen ist die Momentenkurve mit der [[Normalparabel]] identisch. Jedes [[Polygon]], dessen Ecken auf der Normalparabel liegen, ist ein zyklisches Polytop.

== Eigenschaften ==
* Zwei gleichdimensionale zyklische Polytope mit gleich vielen Ecken sind [[Kombinatorische Äquivalenz|kombinatorisch äquivalent]]. Man kann also von '''dem''' zyklischen d-Polytop mit n Ecken sprechen. Diese Eigenschaft folgt aus dem [[Geradheitskriterium von Gale]].
* Das zyklische Polytop ist ein simpliziales Polytop, d. h. jede seiner echten Seite ist ein [[Simplex (Mathematik)|Simplex]].
* Des Weiteren ist <math>C(d,n)</math> ein <math>\lfloor d/2 \rfloor</math>-[[Nachbarschaftlichkeit (Geometrie)|nachbarschaftliches]] Polytop. Jede konvexe Hülle einer beliebigen Menge von <math>\lfloor d/2 \rfloor</math> Ecken ist eine Seite des Polytops.
* Die herausragendste Eigenschaft des zyklischen Polytops ist seine „Extremalität“. Unter allen d-dimensionalen Polytopen mit n Ecken hat <math>C(d,n)</math> die maximale Anzahl von k-dimensionalen Seiten {{nowrap|(k < d).}} Ein d-Polytop mit n Ecken kann also nicht mehr k-Seiten haben als das entsprechende zyklische Polytop mit n Ecken ([[Upper-Bound-Theorem]]).

== Literatur ==
* [[Branko Grünbaum]] mit Volker Kaibel, [[Victor Klee]], [[Günter M. Ziegler]]: ''Convex Polytopes.'' 2. Auflage, Springer 2003, ISBN 0-387-00424-6 (zuerst von Grünbaum 1967).

[[Kategorie:Polytop]]

Zyklisches Polytop - Versionsgeschichte

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