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2025-06-01T23:48:44Z

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[[Datei:Zwillingskreise Archimedes.svg|mini|Arbelos (schwarz) und Zwillingskreise des Archimedes (blau)]]
Bei den '''Zwillingskreisen des Archimedes''' handelt es sich um zwei [[Kreis (Geometrie)|Kreise]], die in einen [[Arbelos]] (auch als Sichel des Archimedes bezeichnet) einbeschrieben sind.

== Definition und Eigenschaften ==
[[Datei:Zwillingskreise Archimedes kleinster umhuellkreis.svg|mini|Die roten Kreise sind kongruent und flächengleich zum Arbelos:<br/><math>|BD|=|EF|</math>, <math>r_k=\frac{|DB|}{2}=\frac{|EF|}{2}=\sqrt{r_1r_2} </math>]]
Zeichnet man in einem Arbelos die Senkrechte zum Durchmesser am Berührungspunkt der beiden inneren Halbkreise ein, so teilt sie diesen in zwei Teile, und in jedem dieser Teile gibt es einen Kreis, der den äußeren Halbkreis, den entsprechenden inneren Halbkreis und die Senkrechte berührt. Diese beiden Kreise bezeichnet man als die ''Zwillingskreise des Archimedes'', da sie [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] sind. Ihr Radius <math>r</math> beträgt:<ref name="Aumann">Günter Aumann: ''Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung''. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 193–200 </ref>
:<math>r = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}</math>
Hierbei bezeichnen <math>r_1</math> und <math>r_2</math> die Radien der beiden inneren Halbkreise des Arbelos.

Die gemeinsame Tangente eines Zwillingskreises und des zugehörigen inneren Halbkreises geht durch den Berührpunkt des anderen inneren Halbkreises mit dem äußeren Halbkreis. Der kleinste Kreis, den die beiden Zwillingskreise von innen berühren, ist flächengleich zum Arbelos.:<ref name="Aumann"/>

== Konstruktion mit Zirkel und Lineal ==
[[Datei:Zwillingskreise Archimedes konstruktion.svg|mini|Konstruktion eines Zwillingskreis]]
Bei einem gegebenen Arbelos bezeichnet man die drei Punkte auf der Grundseite mit <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>, so dass der Halbkreis über <math>AC</math> der äußere Halbkreis des Arbelos ist und die Halbkreise über <math>AB</math> und <math>BC</math> seine beiden inneren Halbkreise. Weiterhin bezeichne <math>D</math> den Schnittpunkt der Senkrechten in <math>B</math> mit dem äußeren Halbkreis und <math>M_1</math> den Mittelpunkt der Strecke <math>AB</math>.

Nun konstruiert man die [[Kreistangente|Tangente]] vom Punkt <math>C</math> an den Halbkreis über <math>AB</math>. Diese berührt den Halbkreis in <math>T</math> und schneidet die Strecke <math>BD</math> in <math>S</math>. Anschließend konstruiert man die [[Winkelhalbierende]] des Winkels <math>\angle DST</math> und die Gerade <math>M_1T</math>, diese schneiden sich in <math>U</math>, dem Mittelpunkt des Zwillingskreises, mit der Strecke <math>UT</math> als dessen Radius. Den zweiten Zwillingskreis erhält man anhand einer entsprechenden Konstruktion mit dem Halbkreis über<math>BC</math>.<ref name="Aumann"/>

== Historisches ==
Die Konstruktion findet sich im ''[[Buch der Lemmata]]'', dessen Zuschreibung an [[Archimedes]] allerdings fraglich ist.

== Siehe auch ==
* [[Archimedischer Kreis]]
* [[Bankoff-Kreise]]
* [[Apollonisches Problem]] – der allgemeine Fall der Konstruktion eines Berührkreises zu drei gegebenen Kreisen, Geraden oder Punkten

== Literatur ==
* [[Günter Aumann]]: ''Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung''. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 193–200
* Leon Bankoff: ''Are the Twin Circles of Archimedes Really Twins?''. Mathematics Magazine, Band 47, Nr. 4 (Sep., 1974), S. 214–218 ([https://www.jstor.org/stable/2689213 JSTOR])
* Clayton W. Dodge, Thomas Schoch, Peter Y. Woo, Paul Yiu: ''Those Ubiquitous Archimedean Circles''. Mathematics Magazine, Band 72, Nr. 3 (Jun., 1999), S. 202–213 ([https://www.jstor.org/stable/2690883 JSTOR])
* Shailesh A. Shirali: ''A generalisation of the arbelos theorem of Archimedes''. The Mathematical Gazette, Band 95, Nr. 533 (Juli 2011), S. 197–205 ([https://www.jstor.org/stable/23248676 JSTOR])

== Weblinks ==
{{commonscat|Archimedes' twin circles}}
* [https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/beweis/zwillingskreise Animierter Beweis zu den '''Zwillingskreisen des Archimedes''', Landesbildungsserver Baden-Württemberg]
* [https://mathworld.wolfram.com/ArchimedesCircles.html Eric Weisstein ''Archimedes Circles'', Wolfram Mathworld]
* [https://www.retas.de/thomas/arbelos/arbelos.html Interaktives Diagramm], das zahlreiche Archimedische Kreise visualisiert (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Kreis]]
[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Archimedes als Namensgeber]]

Zwillingskreise des Archimedes - Versionsgeschichte

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