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2025-12-08T06:51:14Z

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[[Bild:Ts atomspectrum.svg|framed|Abbildung 1: schematische Darstellung eines Zwei-Zustands-Systems mit Absorption und Emission eines Energiequants]]
Ein '''Zwei-Zustands-System''' oder auch '''Zwei-Niveau-System''' in der [[Quantenmechanik]] ist ein einfaches, aber wichtiges [[Modell]]system, das zur Beschreibung vieler Situationen herangezogen werden kann. Das System kann sich nur in einem von zwei möglichen [[Zustand (Quantenmechanik)|Zuständen]], <math>\left|1\right\rangle</math> und <math>\left|2\right\rangle</math> benannt, oder in einer [[Superposition (Physik)|Superposition]] dieser zwei Zustände befinden ([[Bra-Ket-Notation]]). Diese zwei Zustände haben dabei üblicherweise unterschiedliche Energien <math>E_1</math> und <math>E_2</math>. Ein Beispiel ist etwa ein an ein [[Atom]] gebundenes [[Elektron]], das eines von zwei Niveaus des [[Atomspektrum]]s besetzen kann (Grundzustand, angeregter Zustand, siehe Abbildung 1). Oft wird auch das Modellsystem eines quantenmechanischen [[Spin]]s-1/2 ([[Drehimpuls]]es) benutzt, der sich nur in zwei Einstellungen befinden kann. Zwischen den Niveaus existiert ein Übergang (z. B. ein optischer Übergang, der durch sichtbares [[Licht]] angeregt werden kann). Befindet sich das System einmal in einem der beiden Zustände, so bleibt es für immer dort, zumindest solange man das System nicht stört. Wird eine Störung in dem System eingeschaltet, so kann man beobachten, dass die Zustände ineinander übergehen können:

Befindet sich z. B. ein Elektron im Zustand <math>\left|1\right\rangle</math> (der energetisch niedriger liege als <math>\left|2\right\rangle</math>), so kann es durch einen resonant eingestrahlten [[Laser]]-Puls in den Zustand <math>\left|2\right\rangle</math> übergehen. Ein Elektron im Zustand <math>\left|2\right\rangle</math> kann durch Emission eines [[Photon]]s, das die Differenzenergie <math>\Delta E=E_2-E_1=\hbar\omega</math> zwischen den Zuständen trägt, in den Zustand <math>\left|1\right\rangle</math> zurückfallen. Abbildung 1 zeigt das schematisch.

Liegt die Störung längere Zeit an, so oszilliert die Wahrscheinlichkeit, das Atom in einem der Zustände zu finden. Nach einer halben Oszillationsdauer ist die Wahrscheinlichkeit hoch, das Atom im angeregten Zustand vorzufinden, nach einer ganzen Dauer ist es höchstwahrscheinlich wieder im Grundzustand usw. Dieses Phänomen entspricht den [[Rabi-Oszillation]]en.

== Mathematische Beschreibung im Rahmen der Quantenmechanik ==
=== Statische Behandlung ===
Zum gegebenen System gehört ein [[Hamiltonoperator]] <math>\hat H_0</math>. Die Zustände <math>\left|1\right\rangle, \left|2\right\rangle</math> sind Eigenzustände dieses Hamiltonians zu den Eigenwerten <math>E_1, E_2</math>:

:<math>\hat H_0\left|n\right\rangle = E_{n}\cdot\left|n\right\rangle, \quad n \in \left\{1, 2\right\}</math>

Wird zusätzlich zu <math>\hat H_0</math> eine hermitesche Störung <math>\hat W</math> eingeschaltet, so sind <math>\left|1\right\rangle, \left|2\right\rangle</math> nicht mehr die Eigenzustände des neuen Hamiltonians <math>\hat H=\hat H_0+\hat W</math>. Die neuen Eigenzustände seien mit <math>\left|+\right\rangle, \left|-\right\rangle</math> und die neuen Eigenenergien mit <math>E_+, E_-</math> bezeichnet. Man erhält in der <math>\{\left|1\right\rangle, \left|2\right\rangle\}</math>-[[Basis (Vektorraum)|Basis]] folgende Darstellung für <math>\hat H</math>:

:<math>(\hat H) = \begin{pmatrix} E_1+W_{11} & W_{12} \\ W_{21} & E_2+W_{22} \end{pmatrix}, \quad W_{12} = W_{21}^*</math>

* Ist <math>W_{12} = W_{21} = 0</math>, so verschieben sich lediglich die Energieeigenwerte; die Eigenzustände bleiben gleich. Es gilt dann:
::<math>E_- = E_1+W_{11}, \quad E_+ = E_2+W_{22}</math>
::<math>\left|-\right\rangle = \left|1\right\rangle, \quad \left|+\right\rangle = \left|2\right\rangle</math>

[[Bild:Qm tnenergy1.png|framed|Energie-Verschiebung im gestörten Zwei-Zustands-System]]
* Im Falle <math>W_{12} = W_{21}^*\neq0</math> nehmen wir der übersichtlicheren Darstellung wegen hier an, dass <math>W_{11} = W_{22} = 0</math> und erhalten dann:
::<math>E_\pm = E_m\pm\sqrt{\Delta^2+|W_{12}|^2}</math>
::<math>\left|+\right\rangle = \cos\frac{\theta}{2}\cdot e^{-i\varphi/2}\cdot\left|1\right\rangle+\sin\frac{\theta}{2}\cdot e^{i\varphi/2}\cdot\left|2\right\rangle</math>
::<math>\left|-\right\rangle = -\sin\frac{\theta}{2}\cdot e^{-i\varphi/2}\cdot\left|1\right\rangle+\cos\frac{\theta}{2}\cdot e^{i\varphi/2}\cdot\left|2\right\rangle</math>
:Dabei wurden folgende Definitionen verwendet:
::<math>E_m = \frac{E_1+E_2}{2}; \quad \Delta = \frac{E_1-E_2}{2}; \quad \tan\theta = \frac{|W_{12}|}{\Delta}; \quad H_{12} = |H_{12}|\cdot e^{-i\varphi}.</math>
:Man sieht, dass in diesem Fall die Energie-Eigenwerte so verschoben werden, dass ihr Abstand größer wird:
::<math>E_+-E_- > E_2-E_1</math>
:Dieses Phänomen nennt man auch vermiedene Kreuzung (Englisch: ''avoided crossing'' oder ''avoided level crossing'', manchmal auch ''level repulsion'', Abstoßung der Energieniveaus), da die Energieniveaus ohne die Störung durch zwei sich kreuzende Linien dargestellt werden, während im gestörten System die Niveaus sich zwar annähern, aber nicht mehr kreuzen.

[[Bild:Qm tnosci.png|mini|Abbildung 2: Oszillationen im QM-Zweizustandssystem]]

=== Zeitentwicklung ===
Wird das System zum Zeitpunkt <math>t=0</math> im Eigenzustand <math>\left|1\right\rangle</math> präpariert, so bleibt es für alle Zeiten in diesem Zustand. Wird nun aber die Störung <math>\hat W</math> (mit nichtverschwindenden [[Nebendiagonale|Nebendiagonal]]-Elementen) zugeschaltet, so ist die Wahrscheinlichkeit <math>P_{12}(t)</math>, das System zum Zeitpunkt ''t'' im Zustand <math>\left|2\right\rangle</math> zu finden, nicht mehr 0. Dies ist im Wesentlichen darauf zurückzuführen, dass die Zustände <math>\left|1\right\rangle</math> und <math>\left|2\right\rangle</math> keine Eigenzustände des Systems mehr sind. Aus der etwas umfangreichen Rechnung erhält man:

:<math>P_{12}(t) = \frac{|W_{12}|^2}{|W_{12}|^2+\Delta^2}\cdot \sin^2\left[\frac{t\cdot\sqrt{|W_{12}|^2+\Delta^2}}{\hbar}\right]</math>

Diese Oszillationen zwischen den Zuständen, wie sie auch Abbildung 2 zeigt, werden auch als [[Rabioszillation|Rabioszillationen]] bzw. als Rabiflops bezeichnet.

==Literatur==
* Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: ''Quantenmechanik 1/2.'' 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin – New York, S. 649 ff.

== Weblinks ==
*Jan Krieger: [http://www.jkrieger.de/download/quantenmechanik.pdf Theoretische Quantenmechanik und Anwendungen], 2007 (PDF-Datei; 4,26 MB)

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[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Zweizustandssystem - Versionsgeschichte

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