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2025-02-19T20:45:54Z

Spezialfall Graph einer Fläche

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Die '''zweite Fundamentalform''' ist in der Mathematik eine Funktion aus der [[Differentialgeometrie]]. Definiert wurde die zweite Fundamentalform zunächst in der Theorie der [[Reguläre Fläche|Flächen]] im [[Dimension (Mathematik)|dreidimensionalen]] Raum, einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie. Heute gibt es auch eine verallgemeinerte Definition in der [[Riemannsche Geometrie|riemannschen Geometrie]].

Während die [[erste Fundamentalform]] die innere Geometrie einer Fläche beschreibt (also Eigenschaften, die sich durch Längenmessungen innerhalb der Fläche ermitteln lassen), hängt die zweite Fundamentalform von der Lage der Fläche im umgebenden Raum ab. Sie wird für Krümmungsberechnungen benötigt und kommt beispielsweise in den [[Mainardi-Codazzi-Gleichungen]] vor.
Mit ihrer Hilfe und mit Hilfe der ersten Fundamentalform werden die [[Hauptkrümmung]]en, die [[mittlere Krümmung]] und die [[Gaußsche Krümmung]] der Fläche definiert.

== Klassische Differentialgeometrie ==
=== Definition ===

Eine Fläche sei durch eine auf einer offenen Teilmenge <math>U \subset \R^2</math> definierte Abbildung
:<math>X \colon U \to \R^3, \quad (u,v) \mapsto X (u,v) </math>
gegeben, also durch <math>u</math> und <math>v</math> parametrisiert. Ist die Fläche [[Reguläre Fläche|regulär]], also die [[erste Fundamentalform]] der Fläche [[Positiv definit|positiv-definit]], so kann man der Fläche einen [[Normalenvektor|Einheitsnormalenvektor]] <math>\nu(u,v)</math> zuordnen. Für den durch die Parameterwerte <math>u</math> und <math>v</math> bestimmten Punkt der Fläche ist dieser durch das [[Vektorprodukt]]

:<math>\nu(u,v) = \frac{X_u(u,v)\times X_v(u,v)}{|X_u(u,v)\times X_v(u,v)|}</math>

gegeben. Die ''Koeffizienten der zweiten Fundamentalform'' in diesem Punkt sind wie folgt definiert:

:<math>L(u,v) = \nu (u,v) \cdot X_{uu} (u,v)</math>
:<math>M(u,v) = \nu (u,v) \cdot X_{uv} (u,v)</math>
:<math>N(u,v) = \nu (u,v) \cdot X_{vv} (u,v)</math>

definiert. Hierbei sind <math>X_{uu} (u,v)</math>, <math>X_{uv} (u,v)</math> und
<math>X_{vv} (u,v)</math> die zweiten [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] nach den Parametern. Die
Malpunkte drücken [[Skalarprodukt]]e von [[Vektor]]en aus.
Zur Vereinfachung der Schreibweise lässt man häufig die Argumente weg und schreibt nur
<math>L</math>, <math>M</math> und <math>N</math>. Manche Autoren verwenden die Bezeichnungen
<math>e</math>, <math>f</math> und <math>g</math>.

Die ''zweite Fundamentalform'' ist dann die [[quadratische Form]]
:<math>\mathit{II}\colon \R^2 \to \R, \ (w_1,w_2) \mapsto L\, w_1^2 + 2 M \, w_1 w_2 + N \, w_2^2</math>
Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit [[Differential (Mathematik)|Differentialen]] verwendet:
:<math>d\sigma^2 = L \, du^2 + 2 M \, du \, dv + N \, dv^2</math>
Eine weitere (modernere) Schreibweise ist:
:<math>h_{11} = L; \quad h_{12} = h_{21} = M; \quad h_{22} = N</math>,
die zweite Fundamentalform hat also die Matrixdarstellung
:<math>(h_{ij}) = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}.</math>
Häufig bezeichnet man als zweite Fundamentalform auch die durch diese Matrix dargestellte Bilinearform <math>h</math>.

=== Eigenschaften ===

Die ''Diskriminante'' <math>LN-M^2</math> (also die Determinante der Darstellungsmatrix) der zweiten Fundamentalform liefert Auskunft darüber, wie die gegebene Fläche an der betrachteten Stelle gekrümmt ist. Drei Fälle sind zu unterscheiden:

* Für <math>LN-M^2 > 0</math> liegt ''elliptische Krümmung'' vor. (Beispiel: Oberfläche eines [[Ellipsoid]]s oder einer [[Kugel]])

* <math>LN-M^2 = 0</math> bedeutet ''parabolische Krümmung''. (Beispiel: Oberfläche eines geraden [[Zylinder (Geometrie)|Kreiszylinders]])

* Falls <math>LN-M^2 < 0</math> gilt, spricht man von ''hyperbolischer Krümmung''. (Beispiel: [[Einschaliges Hyperboloid]])

=== Beispiel Kugeloberfläche ===

Dem Beispiel aus dem Artikel der [[Erste Fundamentalform|ersten Fundamentalform]] folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius <math>r>0</math> betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch
:<math>X(u,v) = \begin{pmatrix}r \sin u \cos v\\r \sin u \sin v\\r \cos u\end{pmatrix}</math>

parametrisiert. Das Einheitsnormalenfeld kann dann durch
:<math> \nu(u,v) = \frac{1}{r} X(u,v) </math>

beschrieben werden. Die zweiten partiellen Ableitungen von <math>X</math> lauten
:<math> X_{uu} = -X \,</math> sowie <math> X_{uv} = \left( \begin{smallmatrix}-r \cos u \sin v\\r \cos u \cos v\\0\end{smallmatrix}\right) \, </math> und <math> X_{vv} = \left(\begin{smallmatrix}-r \sin u \cos v\\ -r \sin u \sin v\\0\end{smallmatrix}\right)</math>.

Daher erhält man die Koeffizienten <math>L = -r</math>, <math>M = 0</math> und <math>N = -r \sin^2(u)</math>. Die Darstellung der zweiten Fundamentalform der Kugeloberfläche mit Hilfe von Differentialen lautet dann
:<math>d\sigma^2 = -r \,du^2 - r \sin^2(u)\,dv^2.</math>

=== Spezialfall Graph einer Fläche ===

Ist die Fläche der Graph einer Funktion <math>f</math> über dem Parameterbereich <math>U</math>, also <math>X(u,v) = (u,v,f(u,v))</math> für alle <math>(u,v) \in U</math>, so gilt:<ref>{{Internetquelle |autor=A. Hartmann |url=http://www.uni-math.gwdg.de/pape/1.pdf#page=6 |titel=Flächen, Gauß-Krümmung, erste und zweite Fundamentalform, theorema egregium |datum=2011-04-12 |format=PDF |abruf=2016-09-29 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20170517071625/http://www.uni-math.gwdg.de/pape/1.pdf#page=6 |archiv-datum=2017-05-17 |offline=ja}} Seite 6, Beweis zu Satz 3.4.</ref>
:<math>\nu = \frac{1}{\sqrt{1 + f_u^2 +f_v^2}}\begin{pmatrix} -f_u \\ -f_v\\ 1\end{pmatrix}</math>
und
:<math>L = \frac{f_{uu}}{\sqrt{1 + f_u^2 +f_v^2}},\quad
M = \frac{f_{uv}}{\sqrt{1 + f_u^2 +f_v^2}}, \quad
N = \frac{f_{vv}}{\sqrt{1 + f_u^2 +f_v^2}}.</math>
Hierbei bezeichnen <math>f_u</math> und <math>f_v</math> die ersten und <math>f_{uu}</math>, <math>f_{uv}</math> und <math>f_{vv}</math> die zweiten partiellen Ableitungen von <math>f</math>.

== Riemannsche Geometrie ==
Im Gegensatz zur ersten Fundamentalform, welche in der riemannschen Geometrie durch anschaulichere Konstruktionen ersetzt wurde, hat die zweite Fundamentalform auch in der riemannschen Geometrie eine wichtige Bedeutung und eine verallgemeinerte Definition.

=== Definition ===
Sei <math>M</math> eine [[Untermannigfaltigkeit]] der [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] <math>\tilde{M}.</math> Ausgangspunkt für die Definition der zweiten Fundamentalform ist die [[Orthogonalität|orthogonale]] Zerlegung von [[Vektorfeld]]ern in <math>T\tilde{M}|_M</math> in tangentiale und normale Anteile. Sind <math>X, Y \in \Gamma^\infty(TM)</math> Vektorfelder auf <math>M</math>, so kann man diese zu Vektorfeldern auf <math>\tilde{M}</math> fortsetzen. Ist <math>\tilde{\nabla}</math> der [[Levi-Civita-Zusammenhang]] auf <math>\tilde{M}</math>, dann erhält man die Zerlegung
:<math>\tilde{\nabla}_X Y = (\tilde{\nabla}_XY)^\top + (\tilde{\nabla}_XY)^\bot.</math>
Die zweite Fundamentalform ist eine Abbildung
:<math>\mathit{II} \colon \Gamma(TM) \times \Gamma(TM) \to \Gamma(NM),</math>
welche durch
:<math>\mathit{II}(X,Y) := (\tilde{\nabla}_XY)^\bot</math>
definiert ist. Dabei bezeichnet <math>NM</math> das [[Normalenbündel]] von <math>M</math>, welches analog zum [[Tangentialbündel]] definiert ist, und <math>^\bot \colon T\tilde{M} \to NM</math> ist die [[Orthogonalprojektion|orthogonale Projektion]] auf das Normalenbündel.

=== Eigenschaften ===
Die zweite Fundamentalform ist
* unabhängig von der Fortsetzung der Vektorfelder <math>X</math> und <math>Y</math>.
* [[Bilineare Abbildung|bilinear]] über <math>C^\infty(M).</math>
* [[Symmetrische Bilinearform|symmetrisch]] in <math>X</math> und <math>Y.</math>

=== Skalare zweite Fundamentalform ===
Sei <math>\tilde{M}</math> eine <math>n</math>-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit riemannscher Metrik <math>g</math> und sei <math>M</math> eine <math>(n-1)</math>-dimensionale Untermannigfaltigkeit von <math>\tilde{M}</math>. So eine Untermannigfaltigkeit der [[Kodimension]] 1 heißt auch [[Hyperfläche]].
In diesem Fall ist der Normalenraum <math>NM_p</math> in jedem Punkt <math>p</math> von <math>M</math> eindimensional und es gibt genau zwei Einheitsnormalenvektoren, die jeweils <math>NM_p</math> aufspannen. Diese unterscheiden sich nur durch das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]].

Ist ein Einheitsnormalenvektorfeld <math>N \in \Gamma(NM)</math> fest gewählt, so definiert man die zugehörige
skalare zweite Fundamentalform <math>h</math> durch
:<math>h(X,Y) = g(\mathit{II}(X,Y),N)</math> für alle <math>X , Y \in \Gamma(TM).</math>
Die skalare zweite Fundamentalform hängt bis auf das Vorzeichen nicht von der Wahl des Einheitsnormalenvektorfelds ab:
Nimmt man statt <math>N</math> das entgegengesetzt orientierte zweite Einheitsnormalenvektorfeld, so ändert sich bei der skalaren zweiten Fundamentalform nur das Vorzeichen.
Aus den Eigenschaften der zweiten Fundamentalform folgt, dass die skalare zweite Fundamentalform ebenfalls symmetrisch und <math>C^\infty(M)</math>-linear in jedem Argument ist, also ein symmetrisches (0,2)-[[Tensorfeld]] auf <math>M</math>.

== Total geodätische Untermannigfaltigkeiten ==
{{Hauptartikel|Total geodätische Untermannigfaltigkeit}}
Eine Untermannigfaltigkeit <math>N\subset M</math> ist genau dann total geodätisch (d. h. [[Geodäte]]n in <math>N</math> sind auch Geodäten in <math>M</math>), wenn ihre zweite Fundamentalform identisch verschwindet.

== Siehe auch ==
* [[Weingartenabbildung]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Manfredo Perdigão do Carmo: ''Differential Geometry of Curves and Surfaces'', Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1976, ISBN 0-13-212589-7
* Manfredo Perdigão do Carmo: ''Riemannian Geometry'', Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
* John M. Lee: ''Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature.'' Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98322-8.

[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Riemannsche Geometrie]]

Zweite Fundamentalform - Versionsgeschichte

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