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2026-02-19T09:53:40Z

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[[Datei:Grund-aufriss.svg|mini|450px|Grund- und Aufriss in Zweitafelprojektion]]
Die '''Zweitafelprojektion''' ist eine grundlegende Methode der [[Darstellende Geometrie|Darstellenden Geometrie]]. Dabei wird ein Punkt <math>P</math> des [[Anschauungsraum]]s mit Hilfe zweier [[Parallelprojektion]]en senkrecht auf zwei zueinander senkrechte Ebenen (Bildtafel) <math>\pi_1,\pi_2</math> projiziert. Üblicherweise ist die Ebene
<math>\pi_1</math> horizontal und heißt '''Grundrisstafel''' und
<math>\pi_2</math> vertikal, die '''Aufrisstafel'''.
Die Schnittgerade
<math>k_{12}=\pi_1\cap\pi_2</math> heißt '''Risskante'''.
Die entstehenden
Bilder <math>P',P''</math> sind '''Grundriss''' bzw. '''Aufriss''' von <br><math>P</math>.

In ihnen sind alle räumlichen Informationen des Punktes <math>P</math> enthalten. Legt man die beiden Tafeln je in eine Koordinatenebene eines x-y-z-Koordinatensystems, so fallen die Informationen als Koordinatenwerte x, y und z an.

Die Erweiterung der Zweitafelprojektion um eine weitere Darstellungsebene führt zur ''[[Dreitafelprojektion]]''. Diese wird angewendet, wenn mehrere bis viele viele Punkte, die i. d. R. eine Ebene oder einen Körper kennzeichnen, abzubilden sind. Die Abbildung wird dadurch übersichtlicher

Solche Risse waren schon den Griechen und Römern bekannt. Allerdings erst eine Idee von [[Gaspard Monge]]<ref>siehe ''[https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABN3249 Geometrie descriptive].'' S. 10</ref> machte es möglich, die wesentlichen raumgeometrischen Probleme der darstellenden Geometrie relativ einfach zeichnerisch zu lösen. Monge klappte die Aufrisstafel um die Risskante in die Grundrisstafel und benutzte die Grundrisstafel als Zeichenebene. Die zunächst räumliche Zuordnung von <math>P'</math> und <math>P''</math> geht dabei in die Zuordnung in der Zeichenebene durch einen '''Ordner''' (Lot zur Risskante) über. Man sagt, Grundriss und Aufriss
<math>P',P''</math> sind in der Zeichenebene über den zugehörigen ''Ordner'' einander ''zugeordnet''.

== Grund- und Aufrisse verschiedener Punkte ==
[[Datei:Zweitafelproj-punkte.svg|450px|mini|Zweitafelprojektion: verschiedene Lagen von Punkten]]
Da die Anschaulichkeit der Lage von Punkten in der Zweitafelprojektion deutlich geringer ist als in einem räumlich wirkenden Bild ([[Axonometrie]]), bedarf es einiger Übung, um sich die räumliche Lage eines konkreten Punktes anhand seines [[Grundriss|Grund-]] und [[Aufriss]]es vorzustellen. Normalerweise erwartet man, dass sich bei einer Zweitafelprojektion der Grundriss eines Punktes unterhalb und der Aufriss eines Punktes oberhalb der Risskante befindet. Wie Beispiele in dem Bild zeigen, muss das nicht der Fall sein. Allerdings ist man immer bemüht, Grund- und Aufriss eines Objektes in der Zweitafelprojektion optisch zu trennen (Grundriss „unten“, Aufriss „oben“).

== Geraden ==
[[Datei:Zweitafelproj-gerade.svg|450px|mini|Zwei-Tafel-Projektion einer Gerade]]
[[Datei:Zweitafelproj-geraden-var-a.svg|450px|mini|Zwei-Tafel-Projektion: verschiedene Lagen von Geraden]]
[[Datei:Zweitafel-gerade-spuren.svg|450px|mini|Zweitafelprojektion einer Gerade: Spurpunkte <math>S_1,S_2</math>]]
Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. Also sind ihr Grund- und Aufriss durch die Grund- und Aufrisse zweier Punkte bestimmt.

=== Höhenlinien, Frontlinien ===
Es gibt mehrere Sonderlagen von Geraden, die besondere Bezeichnungen erhalten (siehe die Abbildung):
* Eine '''Höhenlinie''' ist eine Gerade, die parallel zur ''Grund''risstafel <math>\pi_1</math> verläuft.
* Eine '''Frontlinie''' ist eine Gerade, die parallel zur ''Auf''risstafel <math>\pi_2</math> verläuft.
* Eine ''Hauptgerade'' ist eine Höhen- oder Frontlinie.
* Eine ''Erstprojizierende'' ist eine Lotgerade zur ''Grund''risstafel und damit ein Projektionsstrahl für den Grundriss.
* Eine ''Zweitprojizierende'' ist eine Lotgerade zur ''Auf''risstafel und damit ein Projektionsstrahl für den Aufriss.
* Eine ''gelehnte'' Gerade ist in einer zur Risskante <math>k_{12}</math> senkrechten Ebene <math>\pi_3</math> enthalten. Gelehnte Geraden sind bei Konstruktionen sehr unangenehm, da sowohl Grund- und Aufriss auf den einzigen Ordner fallen (siehe die Abbildung).

Sowohl Höhen- als auch Frontlinien spielen bei der Bestimmung von '''[[Wahre Länge (darstellende Geometrie)|wahren Längen]]''' eine besondere Rolle, denn
* eine Strecke auf einer ''Höhen''linie erscheint im ''Grund''riss in wahrer Länge.
* eine Strecke auf einer ''Front''linie erscheint im ''Auf''riss in wahrer Länge.
Hauptlinien spielen auch bei rechten Winkeln eine wichtige Rolle, denn
* Ein '''rechter Winkel''' erscheint im Grundriss (Aufriss) wieder als rechter Winkel, wenn ''ein'' Schenkel auf einer Höhenlinie (Frontline) liegt.
''Beliebige'' Winkel erscheinen im Grundriss (Aufriss) in wahrer Größe, wenn ''beide'' Schenkel parallel zur Grundrisstafel (Aufrisstafel) liegen. Tafelparallelität kann man entweder durch eine Drehung der Ebene, in der der Winkel liegt, um eine Höhenlinie (Frontlinie) oder durch zwei Umprojektionen (siehe [[wahre Gestalt]]) erreichen.

=== Spurpunkte ===
Bei Konstruktionen werden oft die [[Spurpunkt]]e einer Gerade benutzt. Sie sind die Durchstoßpunkte <math>S_1,S_2</math> der Gerade mit den Risstafeln. Es gilt immer
* <math>S_1=S_1'\;,\quad S_2=S_2'' \quad </math> und
:<math>S_1''\;, \quad S_2'\quad </math> liegen auf der Risskante (siehe Bild).
{{Absatz}}

== Ebenen ==
=== Beschreibung einer Ebene, Spurgeraden ===
[[Datei:Zweitafel-ebene-spuren-hauptg.svg|450px|mini|Zweitafelprojektion einer Ebene: Spuren, Hauptgeraden]]
[[Datei:Zweitafel-ebene-lotgerade.svg|mini|a) Normale <math>n</math> im Punkt <math>P</math><br />b) Lot <math>l</math> von Punkt <math>Q</math> auf Ebene (durch <math>s_1,s_2</math> gegeben)]]
[[Datei:Zweitafelproj-ebenen-variationen.svg|450px|mini|Zweitafelprojektion: Sonderlagen von Ebenen]]
Eine Ebene wird in der darstellenden Geometrie in der Regel durch ein Dreieck oder zwei sich schneidende Geraden in Grund- und Aufriss beschrieben. Im zweiten Fall wählt man hierfür möglichst Hauptgeraden (Höhenlinien, Frontlinien) oder [[Spurgerade]]n (Schnittgeraden der Ebene mit den Risstafeln, siehe Bild). Auch hier bedarf es einiger Übung, um sich aus den gegebenen Grund- und Aufrissen die Lage der Ebene im Raum vorstellen zu können (siehe Bild).

Für ''Spurgeraden'' <math>s_1,s_2</math> einer Ebene gilt:
* <math>s_1=s_1',s_2=s_2''</math> und
:<math>s_1'', s_2'</math> fallen mit der Risskante zusammen und werden meistens weggelassen (siehe Bild).

Bei Konstruktionen mit Ebenen sind oft folgende Eigenschaften nützlich:
* Die ''Frontlinien'' einer Ebene sind alle zueinander parallel, insbesondere zur Aufrissspur <math>s_2</math> (siehe Bild).
* Die ''Höhenlinien'' einer Ebene sind alle zueinander parallel, insbesondere zur Grundrissspur <math>s_1</math>.

=== Lot auf eine Ebene, Abstand Punkt-Ebene ===
Da der Riss (senkrechte Parallelprojektion) eines rechten Winkels nur dann wieder ein rechter Winkel ist, wenn ein Schenkel parallel zur Bildtafel ist (siehe Abschnitt über Geraden), gilt (siehe Bild)
* Der ''Grundriss'' eines '''Lotes''' auf eine Ebene ist senkrecht zu einer beliebigen ''Höhen''linie der Ebene.
* Der ''Aufriss'' eines Lotes auf eine Ebene ist senkrecht zu einer beliebigen ''Front''linie der Ebene.

Will man den '''Abstand''' eines Punktes <math>Q</math> von einer Ebene bestimmen, so muss man das Lot zur Ebene durch <math>Q</math> mit der Ebene schneiden (siehe: [[Schnittpunkt (Darstellende Geometrie)#Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene|Durchstoßpunktkonstruktion]]). Der Schnittpunkt ist der Lotfußpunkt <math>F</math>. Die [[Wahre Länge (darstellende Geometrie)|wahre Länge]] der Strecke (Lot) <math>\overline{QF}</math> ist schließlich der gesuchte Abstand des Punktes von der Ebene.
=== Lotebene, Lot auf eine Gerade, Abstand Punkt-Gerade ===
Will man das '''Lot''' von einem Punkt <math>Q</math> aus '''auf eine Gerade''' <math>g</math> (im Raum) fällen, so verwendet man die Ebene <math>\varepsilon</math> durch <math>Q</math>, die senkrecht zu <math>g</math> ist, als Hilfsebene. <math>\varepsilon</math> ist eine '''Lotebene''' von <math>g</math>. Es gilt
* Der Grundriss <math>h_1'</math> der Höhenlinie <math>h_1</math> von <math>\varepsilon</math> durch <math>Q</math> ist senkrecht zu <math>g'</math>.
: (<math>h_1''</math> ist parallel zur Risskante !)
* Der Aufriss <math>h_2''</math> der Frontlinie <math>h_2</math> von <math>\varepsilon</math> durch <math>Q</math> ist senkrecht zu <math>g''</math>.
: (<math>h_2'</math> ist parallel zur Risskante !)
Damit liegt die Ebene <math>\varepsilon</math> durch die Höhen- und Frontlinie im Punkt <math>Q</math> fest.
Mit Hilfe der [[Schnittpunkt (Darstellende Geometrie)#Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene|Durchstoßpunktkonstruktion]] lässt sich dann der Lotfußpunkt <math>F=g\cap \varepsilon</math> bestimmen. Der '''Abstand''' des Punktes Q von der Gerade <math>g</math> ist die wahre Länge der Strecke <math>\overline{QF}</math>. Wie man eine ''wahre Länge'' bestimmt findet man [[Wahre Länge (darstellende Geometrie)|hier]].
{{Absatz}}

== Umprojektion, Dreitafelprojektion ==
[[Datei:Zweitafel-umproj.svg|450px|mini|Umprojektion eines Punktes (neuer Aufriss:<math>P'''</math>)]]
[[Datei:Upro-rhombendod.svg|400px|mini|Umprojektion eines Rhombendodekaeders und wahre Gestalt eines Rhombus]]
In der darstellenden Geometrie gibt es zwei Grundaufgaben, die durch Einführung eines neuen Risses gelöst werden können. Dies sei am Beispiel des Rhombendodekaeders (s. u.) erläutert. Der Rhombendodekaeder ist durch zugeordnete Risse (Grund- und Aufriss) gegeben. Gesucht ist 1) ein ''anschaulicher Riss'' (Orthogonalprojektion) und 2) die ''[[wahre Gestalt]]'' eines der 12 Rhomben.

Zunächst wird erklärt wie man einen neuen Riss eines in Grund- und Aufriss gegebenen Punktes konstruiert.

=== Einführung eines neuen Aufrisses ===
''Gegeben:'' Ein Punkt <math>P</math> in Grund- und Aufriss (<math>P',P''</math>, Risskante <math>k_{12}</math>) und eine neue Aufrisstafel <math>\pi_3</math> durch die Risskante <math>k_{13}</math>.

''Gesucht:'' Der neue Aufriss <math>P'''</math>.

<math>P'</math> und <math>P'''</math> sind also über einen Ordner (Lot zu <math>k_{13}</math>) einander zugeordnet. (<math>P'',P'''</math> sind ''nicht'' einander zugeordnet !)

Aus dem Bild ist zu erkennen
* <math>P'''</math> liegt auf dem Ordner (Lot zu <math>k_{13}</math> durch <math>P'</math>) im gleichen Abstand von <math>k_{13}</math> wie der alte Aufriss <math>P''</math> von der alten Risskante <math>k_{12}</math> (siehe Bild).

'''Beispiel Rhombendodekaeder:'''<br>
In dem hier gezeigten Beispiel ist ein [[Rhombendodekaeder]] in Grund- und Aufriss gegeben.
;1) anschaulicher Aufriss
Beide gegebenen Risse sind zwar leicht zu zeichnen, sie sind aber unanschaulich, da viele Punktepaare im Aufriss bzw. Grundriss zusammenfallen. Durch Einführen der neuen Risskante <math>k_{13}</math> wird ein weiterer Aufriss definiert. (Die neue Risskante kann fast beliebig gewählt werden. Sie sollte nur nicht parallel und nicht senkrecht zu dem Grundriss einer der Polyederkanten sein.) In dem neuen Riss liegen keine Punkte mehr hintereinander. Dadurch sind die einzelnen Rhomben und ihre Lage im Raum besser zu erkennen. (Beim Erstellen des neuen Aufrisses lässt sich ausnutzen, dass jedes der 3 Vierecke <math>\{B,C,D,E\}, \{F,G,H,I\}, \{J,K,L,M\}</math> auf gleicher Höhe liegt und damit auch den gleichen Abstand zur neuen Risskante hat.)

;2) wahre Gestalt eines Rhombus
Offensichtlich liegt der Rhombus <math>FKGC</math> in einer senkrechten Ebene. Führt man eine neue Aufrissebene so ein, dass sie parallel zu dem Rhombus <math>FKGC</math> ist, so muss der Rhombus im neuen Riss in wahrer Gestalt erscheinen. Also wählt man eine neue Risskante <math>k_{14}</math> parallel zu <math>F'G'</math> und konstruiert den neuen Aufriss der vier Punkte <math>FKGC</math>. Der Rhombus <math>F''''K''''G''''C''''</math> hat die wahre Gestalt der Rhomben.

[[Datei:Zweitafelproj-kreuzriss.svg|300px|mini|Kreuzriss und Dreitafelprojektion]]
=== Kreuzriss, Dreitafelprojektion ===
{{Hauptartikel|Dreitafelprojektion}}
Ist die neue Risstafel zur Grundrisstafel und zur Aufrisstafel senkrecht, d. h.
<math>k_{23}\perp k_{12}</math>, nennt man den neuen Aufriss '''Kreuzriss''' (s. Bild) und ordnet ihn direkt dem bestehenden Aufriss zu. Eine Zuordnung des neuen Risses zum Grundriss erhält man durch konzentrische Kreisbögen als Ordner (siehe Bild). Damit kann man jetzt Informationen aus irgendeinem Riss über die entsprechenden Ordner in die anderen beiden Risse übertragen. Solch eine Anordnung nennt man '''Dreitafelprojektion'''.

== Siehe auch ==
* [[Eintafelprojektion]]

== Literatur ==
* Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: ''Darstellende Geometrie.'' Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 10.
* Cornelie Leopold: ''Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung.'' Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 40.
* Ulrich Graf, Martin Barner: ''Darstellende Geometrie.'' Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 59.

== Weblinks ==
* [https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/dga-incl-loes.pdf ''Darstellende Geometrie für Architekten''] (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 23–34.
* {{Webarchiv | url=http://material.htlwien10.at/wissensspeicher/Darstellende_Geometrie_und_geometrisches_Zeichnen/Projektionsarten-Axonometrie-3D.pdf | wayback=20130810144627 | text=''Grundlagen und Elemente der Verkehrsmaschinentechnik''}} (PDF; 493 kB) TU Dresden

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Darstellende Geometrie]]

Zweitafelprojektion - Versionsgeschichte

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