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2026-01-09T21:58:37Z

Alternative Tests

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{{SEITENTITEL:Zweistichproben-''t''-Test}}
Der '''Zweistichproben-t-Test''' ist ein [[Signifikanztest]] aus der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]]. In der üblichen Form prüft er anhand der Mittelwerte zweier Stichproben, ob die Mittelwerte zweier normalverteilter [[Grundgesamtheit]]en gleich oder verschieden voneinander sind.

Es gibt zwei Varianten des Zweistichproben-t-Tests:

* den für zwei unabhängige Stichproben mit ''gleichen'' [[Standardabweichung (Stochastik)|Standardabweichungen]] <math>\sigma</math> in beiden Grundgesamtheiten und
* den für zwei abhängige Stichproben.

Liegen zwei unabhängige Stichproben mit ''ungleichen'' Standardabweichungen in beiden Grundgesamtheiten vor, so muss der '''Welch-Test''' ([[Zweistichproben-t-Test#Welch-Test|s. u.]]) eingesetzt werden.

== Grundidee ==
Der Zweistichproben-t-Test prüft (im einfachsten Fall) mit Hilfe der Mittelwerte <math>\overline{x}_1</math> und <math>\overline{x}_2</math> zweier [[Stichprobe]]n, ob die Erwartungswerte <math>\mu_1</math> und <math>\mu_2</math> der zugehörigen [[Grundgesamtheit]]en verschieden sind.

Die untenstehende Grafik zeigt zwei Grundgesamtheiten (schwarze Punkte) und zwei Stichproben (blaue und rote Punkte), die zufällig aus den Grundgesamtheiten gezogen wurden. Die Mittelwerte der Stichproben <math>\overline{x}_1</math> und <math>\overline{x}_2</math> können aus den Stichproben berechnet werden, die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten <math>\mu_1</math> und <math>\mu_2</math> sind jedoch unbekannt. In der Grafik sind die Grundgesamtheiten so konstruiert, dass die beiden Erwartungswerte gleich sind, also <math>\mu_1=\mu_2</math>.

[[Datei:Two sample ttest.svg|zentriert]]

Wir vermuten nun, z. B. aufgrund historischer Ergebnisse oder theoretischer Überlegungen, dass die Erwartungswerte <math>\mu_1</math> und <math>\mu_2</math> der Grundgesamtheiten verschieden sind, und möchten dies prüfen.

Im einfachsten Fall prüft der Zweistichproben-t-Test
* die ''[[Nullhypothese]]'', dass die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten gleich sind (<math>H_0:\,\mu_1=\mu_2</math>)
* gegen die ''[[Alternativhypothese]]'', dass die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten ungleich sind (<math>H_1:\,\mu_1\neq\mu_2</math>).

Wenn die Stichproben geeignet gezogen wurden, zum Beispiel als [[einfache Zufallsstichprobe]]n, wird der Mittelwert <math>\overline{x}_1</math> der Stichprobe 1 mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe dem Erwartungswert <math>\mu_1</math> der Grundgesamtheit 1 liegen und der Mittelwert <math>\overline{x}_2</math> der Stichprobe 2 mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe dem Erwartungswert <math>\mu_2</math> der Grundgesamtheit 2 liegen. Das heißt, der Abstand zwischen der gestrichelten roten und schwarzen Linie bzw. der gestrichelten blauen und schwarzen Linie wird mit hoher Wahrscheinlichkeit klein sein.

* Wenn der Abstand zwischen <math>\overline{x}_1</math> und <math>\overline{x}_2</math> (gestrichelte blaue bzw. rote Linie) klein ist, dann liegen auch die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten <math>\mu_1</math> und <math>\mu_2</math> nahe beieinander. Wir können die Nullhypothese nicht ablehnen.
* Wenn der Abstand zwischen <math>\overline{x}_1</math> und <math>\overline{x}_2</math> (gestrichelte blaue bzw. rote Linie) groß ist, dann liegen auch die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten <math>\mu_1</math> und <math>\mu_2</math> weit voneinander entfernt. Wir können die Nullhypothese ablehnen.

Die genauen mathematischen Berechnungen finden sich in den folgenden Abschnitten.

== Zweistichproben-t-Test für unabhängige Stichproben ==
Um Erwartungswertunterschiede zwischen zwei Grundgesamtheiten mit der gleichen unbekannten Standardabweichung <math>\sigma</math> zu untersuchen, wendet man den Zweistichproben-t-Test an. Dafür muss jede der Grundgesamtheiten [[Normalverteilung|normalverteilt]] sein oder die Stichprobenumfänge müssen so groß sein, dass der [[Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] anwendbar ist.
Für den Test zieht man eine Stichprobe <math>x_1, \ldots, x_n</math> vom Umfang <math>n</math> aus der 1. Grundgesamtheit und unabhängig davon eine Stichprobe <math>y_1,\ldots,y_m</math> vom Umfang <math>m</math> aus der 2. Grundgesamtheit. Für die zugehörigen unabhängigen Stichprobenvariablen <math>X_1,\ldots,X_n</math> und <math>Y_1,\ldots,Y_m</math> gilt dann <math>\operatorname{E}(X_i)=\mu_X</math> und <math>\operatorname{E}(Y_j)=\mu_Y</math> mit den Erwartungswerten <math>\mu_X</math> und <math>\mu_Y</math> der beiden Grundgesamtheiten. Wird eine Zahl <math>\omega_0</math> für die Differenz der Erwartungswerte vorgegeben, so lautet die Nullhypothese
:<math>H_0:\,\mu_X-\mu_Y=\omega_0</math>

und die Alternativhypothese
:<math>H_1:\,\mu_X-\mu_Y \neq \omega_0</math>.
Häufig liegt der Fall <math>\omega_0 = 0</math> vor, in welchem die Nullhypothese die Gleichheit der Erwartungswerte und die Alternativhypothese die Ungleichheit der Erwartungswerte postuliert.

Die [[Teststatistik]] ergibt sich zu

:<math>T=\frac{\overline X-\overline Y - \omega_0}{S\sqrt{\frac 1n+\frac 1m}} = \sqrt{\frac{nm}{n+m}} \frac{\overline X-\overline Y - \omega_0}{S}.</math>

Darin sind <math> \overline X</math> und <math>\overline Y</math> die respektiven Stichprobenmittelwerte und

:<math>S^2 = \frac{(n-1)S_X^2 + (m-1)S_Y^2}{n+m-2}</math>

die gewichtete Varianz, berechnet als gewichtetes Mittel der respektiven [[Korrigierte Stichprobenvarianz|korrigierten Stichprobenvarianzen]] <math>S_X^2</math> und <math>S_Y^2</math>.

Die Teststatistik <math>T</math> ist unter der Nullhypothese [[Studentsche t-Verteilung|t-verteilt]] mit <math>m+n-2</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]]. Der Prüfwert, also die [[Realisierung (Stochastik)|Realisierung]] der Teststatistik anhand der Stichprobe, berechnet sich dann als

:<math>t=\sqrt{\frac{nm}{n+m}} \frac{\overline x -\overline y - \omega_0}{s}.</math>

Dabei sind <math>\overline x</math> und <math>\overline y</math> die aus der Stichprobe berechneten Mittelwerte und
:<math>s^2=\frac{(n-1)s_x^2 + (m-1)s_y^2}{n+m-2}</math>
die Realisierung der gewichteten Varianz, berechnet aus den Stichprobenvarianzen <math>s_x^2</math> und <math>s_y^2</math>. Sie wird auch als [[gepoolte Stichprobenvarianz]] bezeichnet.

Zum Signifikanzniveau <math>\alpha</math> wird die Nullhypothese abgelehnt zugunsten der Alternative, wenn
:<math>|t| > t(1-\tfrac 12 \alpha,\ n+m-2).</math>
Dabei bezeichnet <math>t(p,\nu)</math> das [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|<math>p</math>-Quantil]] einer t-Verteilung mit <math>\nu</math> Freiheitsgraden. Im weiteren Verlauf des Artikels werden dafür auch die Notationen <math>t(p;\nu)</math> und
<math>t_{p;\nu}</math> verwendet. Im Artikel [[Studentsche t-Verteilung|t-Verteilung]] wird dagegen die Notation <math>t_{\nu;p}</math> für das <math>1-p</math>-Quantil einer t-Verteilung mit <math>\nu</math> Freiheitsgraden verwendet.

Alternativ können folgende Hypothesen mit der gleichen Teststatistik <math>T</math> getestet werden:

* <math>\!H_0:\mu_X-\mu_Y\leq\omega_0</math> vs. <math>\!H_1:\mu_X-\mu_Y>\omega_0</math> und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn <math>t > t(1-\alpha,\ m+n-2)</math> bzw.
* <math>\!H_0:\mu_X-\mu_Y\geq\omega_0</math> vs. <math>\!H_1:\mu_X-\mu_Y<\omega_0</math> und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn <math>t < -t(1-\alpha,\ m+n-2)</math>.

=== Bemerkung ===
Sind die Varianzen in den Grundgesamtheiten ungleich, dann muss der [[#Welch-Test|Welch-Test]] durchgeführt werden.

=== Beispiel 1 ===
Zwei Düngemittelsorten sollen verglichen werden. Dazu werden 25 Parzellen gleicher Größe gedüngt, und zwar <math>n=10</math> Parzellen mit Sorte A und <math>m=15</math> Parzellen mit Sorte B. Angenommen wird, dass die Ernteerträge normalverteilt seien mit gleichen Varianzen. Bei Ersteren ergibt sich ein mittlerer Ernteertrag <math>\overline x = 23{,}6</math> mit Stichprobenvarianz <math>s_x^2 = 9{,}5</math> und bei den anderen Parzellen das Mittel <math>\overline y = 20{,}1</math> mit Varianz <math>s_y^2 = 8{,}9</math>. Für die gewichtete Varianz berechnet man damit
: <math>s^2 = \frac{9\cdot 9{,}5 + 14 \cdot 8{,}9}{10+15-2} = 9{,}135</math>.
Daraus erhält man die Prüfgröße
: <math>t = \sqrt{\frac{10 \cdot 15}{10+15}} \cdot \frac{23{,}6-20{,}1}{\sqrt{9{,}135}} = 2{,}837</math>.
Das vorgegebene Signifikanzniveau sei 5 %. Es wird ein zweiseitiger Test durchgeführt. Der Wert der Prüfgröße ist größer als das 0,975-Quantil der t-Verteilung mit <math>10+15-2=23</math> Freiheitsgraden <math>t(0{,}975;\ 23) = 2{,}069</math>.
Es kann also mit einer Konfidenz von <math>95\,\%</math> behauptet werden, dass ein Unterschied in der Wirkung der beiden Düngemittel besteht.

=== Kompaktdarstellung ===
{{Test3Kompakt
|name=Zweistichproben-t-Test für zwei unabhängige Stichproben
|vor=
* <math>X_1, \ldots,X_n</math> und <math>Y_1 \ldots,Y_m</math> unabhängig voneinander
* <math>X_i\sim \mathcal{N}(\mu_X;\sigma)\,</math> oder <math>X_i\sim (\mu_X;\sigma)\,</math> mit <math>n>30</math>
* <math>Y_j\sim \mathcal{N}(\mu_Y;\sigma)\,</math> oder <math>Y_j\sim (\mu_Y;\sigma)\,</math> mit <math>m>30</math>
* <math>\sigma</math> unbekannt
|hyp1=<math>H_0: \mu_X-\mu_Y\leq\omega_0\,</math> <math>H_1: \mu_X-\mu_Y>\omega_0\,</math> (rechtsseitig)
|hyp2=<math>H_0: \mu_X-\mu_Y=\omega_0\,</math> <math>H_1: \mu_X-\mu_Y \neq\omega_0\,</math> (zweiseitig)
|hyp3=<math>H_0: \mu_X-\mu_Y\geq\omega_0\,</math> <math>H_1: \mu_X-\mu_Y<\omega_0\,</math> (linksseitig)
|stat=<math>T=\sqrt{\frac{nm}{n+m}}\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\omega_0}{S} </math>
Im Fall <math>\mu_X-\mu_Y=\omega_0</math> gilt für die Teststatistik <math>T \sim t_{n+m-2}</math>.
|pruf=<math>t=\sqrt{\frac{nm}{n+m}}\frac{\overline{x}-\overline{y}-\omega_0}{s}</math> mit <math>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>, <math>\overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m y_i</math>, <math>s_x=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}</math>,
<math>s_y=\sqrt{\frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^m (y_j-\overline{y})^2}</math> und <math>s=\sqrt{\frac{ {(n-1)s_x^2+(m-1)s_y^2} }{n+m-2}}</math>
|ann1=<math>\{t|t>t_{1-\alpha;n+m-2}\}\,</math>
|ann2=<math>\{t|t<-t_{1-\alpha/2;n+m-2}\}\,</math> oder <math>\{t|t>t_{1-\alpha/2;n+m-2}\}\,</math>
|ann3=<math>\{t|t<-t_{1-\alpha;n+m-2}\}\,</math>
}}

== Zweistichproben-t-Test für abhängige Stichproben ==
{{Siehe auch|gepaarte Stichprobe}}
[[Datei:Fehler erster Art von t-Tests.png|mini|[[Fehler 1. und 2. Art#Fehler 1. Art|Fehler 1. Art]] von verbundenem und unverbundenem t-Test in Abhängigkeit von der [[Korrelation]]. Die simulierten [[Zufallszahl]]en entstammen einer [[Mehrdimensionale Normalverteilung|bivariaten Normalverteilung]] mit einer [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] von 1. Das Signifikanzniveau beträgt 5 % und die Fallzahl 60.]]
[[Datei:Guete von t-Tests.png|mini|[[Trennschärfe eines Tests|Güte]] von verbundenem und unverbundenem t-Test in Abhängigkeit von der Korrelation. Die simulierten Zufallszahlen entstammen einer bivariaten Normalverteilung mit einer Varianz von 1 und einer Differenz der [[Erwartungswert]]e von 0,4. Das Signifikanzniveau beträgt 5 % und die Fallzahl 60.]]

Hier sind <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> und <math>y_1, y_2, \dots, y_n</math> zwei [[Gepaarte Zufallsstichprobe|paarweise verbundene Stichproben]], die beispielsweise aus zwei Messungen an denselben Untersuchungseinheiten gewonnen wurden (Messwiederholung). Die Stichproben können auch aus anderen Gründen paarweise abhängig sein, beispielsweise wenn die <math>x</math>- und <math>y</math>-Werte Messergebnisse von Frauen bzw. Männern in einer Partnerschaft sind und Unterschiede zwischen den Geschlechtern interessieren.

Soll die Nullhypothese getestet werden, dass die beiden Erwartungswerte der zugrunde liegenden normalverteilten Grundgesamtheiten gleich sind, so können mit dem [[Einstichproben-t-Test]] die Differenzen <math>d_i = x_i - y_i</math> auf Null getestet werden. In der Praxis muss bei kleineren Stichprobenumfängen (<math>n\leq30</math>) die Voraussetzung erfüllt sein, dass die Differenzen in der Grundgesamtheit normalverteilt sind. Bei hinreichend großen Stichproben verteilen sich die Differenzen der Paare annähernd normal um das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] der Differenz der Grundgesamtheit. Insgesamt reagiert der t-Test auf Annahmeverletzung eher robust.<ref>[[Jürgen Bortz]]: ''Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler.'' 6. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21271-X, S. 142.</ref>

=== Beispiel 2 ===
Um eine neue Therapie zur Senkung des [[Cholesterinspiegel]]s zu testen, werden bei zehn Probanden vor und nach der Behandlung die Cholesterinwerte bestimmt. Es ergeben sich die folgenden Messergebnisse:
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
|style="text-align:left"|Vor der Behandlung: || 223 || 259 || 248 || 220 || 287 || 191 || 229 || 270 || 245 || 201
|-
|style="text-align:left"|Nach der Behandlung: || 220 || 244 || 243 || 211 || 299 || 170 || 210 || 276 || 252 || 189
|-
|style="text-align:left"|Differenz: || 3 || 15 || 5 || 9 || −12 || 21 || 19 || −6 || −7 || 12
|}

Die Differenzen der Messwerte haben das arithmetische Mittel <math>\overline d = 5{,}9</math> und die Stichprobenstandardabweichung <math>s_d=11{,}3866</math>. Das ergibt als Prüfgrößenwert
: <math>t=\sqrt{10}\frac{5{,}9}{11{,}3866}=1{,}6385</math>.
Es ist <math>t(0{,}975;\ 9) = 2{,}2622</math>, also gilt <math>|t| \leq t(0{,}975;\ 9)</math>. Somit kann die Nullhypothese, dass die Erwartungswerte der Cholesterinwerte vor und nach der Behandlung gleich sind, die Therapie also ''keine Wirkung'' hat, zum Signifikanzniveau <math>\alpha=5\,\%</math> ''nicht'' abgelehnt werden.
Wegen <math>t<t(0{,}95;\ 9) = 1{,}8331</math> ist auch die einseitige Alternative, dass die Therapie den Cholesterinspiegel ''senkt'', nicht signifikant. Wenn die Behandlung überhaupt einen Effekt hat, so ist dieser nicht groß genug, um ihn mit einem so kleinen Stichprobenumfang zu entdecken.

=== Kompaktdarstellung ===
{{Test3Kompakt
|name=Zweistichproben-t-Test für zwei gepaarte Stichproben
|vor=
* <math>D_i=X_i-Y_i\,</math> unabhängig voneinander
* <math>\overline{D}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n D_i\sim \mathcal{N}(\mu_D; \sigma_D/\sqrt{n})</math> (zumindest approximativ)
|hyp1=<math>H_0: \mu_X-\mu_Y\leq\omega_0</math> <math>H_1: \mu_X-\mu_Y>\omega_0\,</math> (rechtsseitig)
|hyp2=<math>H_0: \mu_X-\mu_Y=\omega_0\,</math> <math>H_1: \mu_X-\mu_Y\neq\omega_0</math> (zweiseitig)
|hyp3=<math>H_0: \mu_X-\mu_Y\geq\omega_0</math> <math>H_1: \mu_X-\mu_Y<\omega_0\,</math> (linksseitig)
|stat=<math>T=\sqrt{n}\frac{\overline{D}-\omega_0}{S_D}</math>
Im Fall <math>\mu_X-\mu_Y =\omega_0</math> gilt für die Teststatistik <math>T \sim t_{n-1}</math>.
|pruf=<math>t=\sqrt{n}\frac{\overline{d}-\omega_0}{s_d}</math> mit <math>d_i=x_i-y_i\,</math>, <math>\overline{d}=\frac{1}n\sum_{i=1}^n d_i</math>, und <math>s_d = \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (d_i-\overline{d})^2 } </math>
|abl1=
|abl2=
|abl3=
|ann1=<math>[t_{1-\alpha;n-1},\infty)\,</math>
|ann2=<math>(-\infty,-t_{1-\frac{\alpha}2;n-1}]\cup [t_{1-\frac{\alpha}2;n-1},\infty)\,</math>
|ann3=<math>(-\infty,-t_{1-\alpha;n-1}]\,</math>
}}

== Welch-Test ==
Beim Welch-Test<ref name="BLW38">B. L. Welch: ''The significance of the difference between two means when the population variances are unequal.'' In: ''Biometrika.'' Band 29, 1938, S. 350–362.</ref>, der manchmal auch Satterthwaite-Test<ref>Franklin J. Satterthwaite: ''Synthesis of Variance''. In: ''Psychometrika.'' Band 6, Heft 5, 1941, S. 309–316.</ref> genannt wird, wird wie beim Zweistichprobentest-t-Test für unabhängige Stichproben unterstellt, dass die beiden Stichproben normalverteilt und unabhängig voneinander sind. Jedoch wird nicht mehr gefordert, dass die Varianzen in beiden Stichproben identisch sind. Die [[Teststatistik]] wird gegenüber dem Zweistichproben-t-Test entsprechend modifiziert:

:<math>T=\frac{\overline X-\overline Y - \omega_0}{\sqrt{\frac{S_X^2}n+\frac{S_Y^2}m}} \approx t_\nu.</math>

Diese Teststatistik ist unter der Nullhypothese gleicher Mittelwerte nicht <math>t</math>-verteilt. Die wahre Verteilung kann aber (auch für endliche Stichproben!) durch eine [[t-Verteilung]] mit einer modifizierten Anzahl von Freiheitsgraden approximiert werden<ref name="BLW38"/><ref>{{Literatur |Autor=B. L. Welch |Titel=''The generalization of ‘Student's’ problem when several different population variances are involved'' |Sammelwerk=''Biometrika''|Band=34 |Nummer=1–2 |Datum=1947 |ISSN=0006-3444 |DOI=10.1093/biomet/34.1-2.28 |Seiten=28–35 |Online=https://academic.oup.com/biomet/article-lookup/doi/10.1093/biomet/34.1-2.28 |Abruf=2021-11-07}}</ref> (siehe auch [[Behrens-Fisher-Problem]]):

:<math>\nu = { \left(\frac{s_x^2}{n} + \frac{s_y^2}{m}\right)^2 \over \frac 1{n-1} \left(\frac{s_x^2}{n}\right)^2 + \frac 1{m-1}\left(\frac{s_y^2}{m}\right)^2 }.</math>

Dabei sind <math>s_x</math> und <math>s_y</math> die aus der Stichprobe [[Schätzmethode (Statistik)|geschätzten]] [[Standardabweichung (Stochastik)|Standardabweichungen]] der Grundgesamtheiten sowie <math>n</math> und <math>m</math> die Stichprobenumfänge.

Obwohl der Welch-Test speziell für den Fall <math>\sigma_X\neq\sigma_Y</math> entwickelt wurde, funktioniert der Test nicht gut, wenn mindestens eine der Verteilungen nicht-normal ist, die Fallzahlen klein und stark unterschiedlich (<math>n\neq m</math>) sind.<ref>{{Literatur |Autor=R.R. Wilcox |Titel=Statistics for the Social Sciences |Verlag=Academic Press Inc |Datum=1996 |ISBN=0-12-751540-2}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=D.G. Bonnet, R.M. Price |Titel=Statistical inference for a linear function of medians: Confidence intervals, hypothesis testing, and sample size requirements |Sammelwerk=Psychological Methods |Band=7 |Nummer=3 |Datum=2002 |DOI=10.1037/1082-989X.7.3.370}}</ref>

=== Kompaktdarstellung ===
{{Test3Kompakt
|name=Welch-Test
|vor=
* <math>X_1, \ldots,X_n</math> und <math>Y_1 \ldots,Y_m</math> unabhängig voneinander
* <math>X_i\sim \mathcal{N}(\mu_X;\sigma_X)\,</math> oder <math>X_i\sim (\mu_X;\sigma_X)\,</math> mit <math>n>30</math>
* <math>Y_j\sim \mathcal{N}(\mu_Y;\sigma_Y)\,</math> oder <math>Y_j\sim (\mu_Y;\sigma_Y)\,</math> mit <math>m>30</math>
* <math>\sigma_X\neq\sigma_Y</math> unbekannt
|hyp1=<math>H_0: \mu_X-\mu_Y\leq\omega_0\,</math> <math>H_1: \mu_X-\mu_Y>\omega_0\,</math> (rechtsseitig)
|hyp2=<math>H_0: \mu_X-\mu_Y=\omega_0\,</math> <math>H_1: \mu_X-\mu_Y \neq\omega_0\,</math> (zweiseitig)
|hyp3=<math>H_0: \mu_X-\mu_Y\geq\omega_0\,</math> <math>H_1: \mu_X-\mu_Y<\omega_0\,</math> (linksseitig)
|stat=<math>T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\omega_0}{S} \approx t_\nu</math>
Im Fall <math>\mu_X-\mu_Y=\omega_0</math> gilt <math> T \approx t_\nu</math>.
|pruf=<math>t=\frac{\overline{x}-\overline{y}-\omega_0}{s}</math> 
mit <math>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>, <math>\overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m y_i</math>, 
<math>s_x^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2</math>, 
<math>s_y^2=\frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^m (y_j-\overline{y})^2</math>, 
<math>s=\sqrt{\frac{s_x^2}{n}+\frac{s_y^2}{m}}</math> und 
<math>\nu=\frac{\left(\frac{s_x^2}{n} + \frac{s_y^2}{m}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_x^2}{n}\right)^2}{n-1} + \frac{\left(\frac{s_y^2}{m}\right)^2}{m-1}}</math>.
|ann1=<math>\{t|t>t_{1-\alpha;\nu}\}\,</math>
|ann2=<math>\{t|t<-t_{1-\alpha/2;\nu}\}\,</math> oder <math>\{t|t>t_{1-\alpha/2;\nu}\}\,</math>
|ann3=<math>\{t|t<-t_{1-\alpha;\nu}\}\,</math>
}}

== Alternative Tests ==
Der t-Test wird, wie oben ausgeführt, zum Testen von Hypothesen über Erwartungswerte einer oder zweier Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannter Standardabweichung verwendet.
* [[Permutationstest]], beruht nicht auf der Annahme, dass jede der beiden Gruppen für sich normalverteilt sind
* [[Klassifizierer-Zweistichprobentest]]<ref>Revisiting Classifier Two Sample Test David Lopez-Paz, Maxime Oquab, https://arxiv.org/pdf/1610.06545v2</ref> (c2st)
* Die Annahme, dass jede der beiden Gruppen für sich normalverteilt ist, kann mit dem [[Shapiro-Wilk-Test]] oder dem [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] geprüft werden. Liegt keine Normalverteilung vor, können als Ersatz für den t-Test [[Nichtparametrische Statistik|nichtparametrische]] Tests angewendet werden, etwa ein [[Wilcoxon-Mann-Whitney-Test]] (auch: Wilcoxon-Rangsummentest) für unabhängige Stichproben oder ein [[Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test]] für gepaarte Stichproben. Ein einfach durchführbares alternatives Verfahren zur schnellen Abschätzung ist der [[Schnelltest nach Tukey]].
* Sollen mehr als zwei normalverteilte Stichproben auf Gleichheit der Erwartungswerte getestet werden, kann eine [[Varianzanalyse]] angewendet werden.
* Bei Mittelwertvergleichen normalverteilter Stichproben mit bekannter Standardabweichung können [[Gauß-Test]]s verwendet werden.

== Weblinks ==
* [https://matheguru.com/stochastik/t-test.html#rechner Rechner für alle Varianten des t-Tests. Berechnet t-Wert, P-Wert und kritische Werte.]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Parametrischer Test]]

Zweistichproben-t-Test - Versionsgeschichte

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