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2023-10-12T13:49:35Z

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Die '''Zweipunktverteilung''' ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] in der [[Stochastik]]. Sie ist eine einfache [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]], die auf einer zweielementigen Menge <math> \{a,b\} </math> definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die [[Bernoulli-Verteilung]], die auf <math> \{0,1\} </math> definiert ist.

== Definition ==
Eine Zufallsvariable <math> X </math> auf <math> \{a,b\} </math> mit <math> a<b </math> heißt zweipunktverteilt, wenn
:<math> P(X=a)=1-p \text{ und } P(X=b)=p </math> ist.

Die [[Verteilungsfunktion]] ist dann
:<math> F_X(t)=\begin{cases}
0 & \text{ falls } t < a \\
1-p & \text{ falls } t \in [a,b) \\
1 & \text{ falls } t \geq b
\end{cases}
</math>

== Eigenschaften ==
Sei im Folgenden <math>q = 1-p</math>.
=== Erwartungswert ===
Der [[Erwartungswert]] einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist
:<math>E(X)=(1-p) \cdot a+p\cdot b=q \cdot a+p \cdot b</math>.

=== Varianz und weitere Streumaße ===
Für die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] gilt
:<math>V(X)= E \left( (X-E(X))^2 \right) = p \cdot q \cdot (b-a)^2</math>.

Demnach ist die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]]
:<math> \sigma_X=(b-a) \sqrt{pq} </math>

und der [[Variationskoeffizient]]
:<math> \operatorname{VarK}(X)= \frac{(b-a) \sqrt{pq}}{qa+pb}</math>.

=== Symmetrie ===
Ist <math> p= \tfrac 12 </math>, so ist die Zweipunktverteilung [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] um ihren Erwartungswert.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] der Zweipunktverteilung ist
:<math> \operatorname{v}(X)=\frac{1-2p}{\sqrt{pq}} </math>.

=== Wölbung und Exzess ===
Der Exzess der Zweipunktverteilung ist
:<math> \gamma (X)=\frac{1-6pq}{pq} </math>

und damit ist die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]]

:<math> \beta _2 (X)= \frac{1-3pq}{pq}</math>.

=== Höhere Momente ===
Die <math>k</math>-ten [[Moment_(Stochastik)|Momente]] ergeben sich als
:<math> \operatorname{E}(X^k)=qa^k+pb^k </math>.

Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.

=== Modus ===
Der [[Modus (Stochastik)|Modus]] der Zweipunktverteilung ist
:<math>x_D=\begin{cases}
a & \text{falls } q > p\\
a \text{ und } b & \text{falls } q=p\\
b & \text{falls } q < p
\end{cases}</math>

=== Median ===
Der [[Median (Stochastik)|Median]] der Zweipunktverteilung ist
:<math>\tilde m=\begin{cases}
a & \text{falls } q \geq p\\
b & \text{falls } q < p
\end{cases}</math>

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
Sind <math>a,b \in \mathbb{N}_0 </math>, so ist die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]]
:<math> m_X(t)=qt^a+pt^b </math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] ist für beliebiges <math> a,b \in \mathbb{R} </math> gegeben als
:<math> M_X(t)=qe^{at}+pe^{bt}</math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] ist für beliebiges <math> a,b \in \mathbb{R} </math> gegeben als
:<math> \varphi_X(t)=qe^{iat}+pe^{ibt}</math>.

=== Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern ===
Sind Erwartungswert <math>m</math>, [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] <math>s</math> und [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] <math>t</math> vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:
:<math>p = (1+t/\sqrt{4+t^2})/2,</math>
:<math>q = 1-p,</math>
:<math>a = m - s \cdot \sqrt{q/p},</math>
:<math>b = m + s \cdot \sqrt{p/q}.</math>

=== Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen ===
Die Zweipunktverteilung ist für <math> p \in (0,1) </math> nicht [[Reproduktivität|reproduktiv]]. Das heißt, wenn <math> X_1,X_2 </math> zweipunktverteilt sind, dann ist <math> X_1+X_2 </math> nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit <math> p=1 </math> (bzw. <math> q=1 </math>). Dann handelt es sich um eine [[Dirac-Verteilung]] auf <math> b </math> (bzw. auf <math> a </math>), die entsprechend reproduktiv und sogar [[Unendliche Teilbarkeit|unendlich teilbar]] ist.

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur Bernoulli-Verteilung ===
Eine Zweipunktverteilung auf <math> \{0,1\} </math> ist eine [[Bernoulli-Verteilung]].

=== Beziehung zur Rademacher-Verteilung ===
Die [[Rademacher-Verteilung]] ist eine Zweipunktverteilung mit <math> a=-1,b=1, p=q=\frac{1}{2} </math>.

== Literatur ==
* Thomas Mack: ''Versicherungsmathematik.'' 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X.
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Zweipunktverteilung (two-point distribution)'', S. 526–527}}
{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}
[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Zweipunktverteilung - Versionsgeschichte

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