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2025-09-26T18:50:49Z

Siehe auch: wieso?

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Als '''Zwangsbedingung''' wird in der [[Analytische Mechanik|analytischen Mechanik]] eine Einschränkung der Bewegungsfreiheit eines Ein- oder [[Mehrkörpersystem]]s bezeichnet. Dadurch nimmt die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e eines Systems ab. Zwangsbedingungen führen zu [[Zwangskraft|Zwangskräften]].

Systeme mit Zwangsbedingungen können besonders gut beschrieben werden durch
* die [[Lagrange-Formalismus|Lagrangesche]] Formulierung der [[klassische Mechanik|klassischen Mechanik]]
* die [[Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonsche]] Formulierung der klassischen Mechanik
* das [[D’Alembertsches Prinzip|D’Alembertsche Prinzip]]
* das [[Prinzip der virtuellen Leistung]].

== Unterscheidung ==
=== Bezüglich Integrabilität ===
Im Folgenden wird stets ein <math>N</math>-Teilchensystem in 3 [[Raumdimension]]en betrachtet. Ohne Zwangsbedingungen bräuchte man für den [[Ortsvektor]] jedes Teilchens 3 Raumkoordinaten, somit insgesamt <math>3N</math> Raumkoordinaten, um das gesamte System zu beschreiben. Diese Koordinaten werden fortlaufend durchnummeriert:

:<math>\begin{array}{l}
\vec{r}_{1}=(x_{1},x_{2},x_{3}) \\
\vec{r}_{2}=(x_{4},x_{5},x_{6}) \\
\vdots \\
\vec{r}_{N}=(x_{3N-2},x_{3N-1},x_{3N})
\end{array}</math>

==== Holonome Zwangsbedingungen ====
[[Holonom]]e Zwangsbedingungen können als [[Gleichung]]en zwischen den Koordinaten <math>x_i</math> des Systems formuliert werden (<math>s</math>: Anzahl der holonomen Zwangsbedingungen):

:<math>f_l(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{3N}, t) = 0 \quad \mathrm{mit} \; l = 1, \ldots, s</math>

Die <math>3N</math> Koordinaten lassen sich mit <math>s</math> unabhängigen holonomen Zwangsbedingungen auf <math>n = 3N - s</math> unabhängige [[generalisierte Koordinate]]n <math>q_i</math> reduzieren, die automatisch die Zwangsbedingungen erfüllen müssen:

::<math>x_i = x_i(q_1, q_2, \ldots, q_n, t) \quad \mathrm{mit} \; i = 1, \ldots, 3N \; \mathrm{und} \; n = 3N - s</math>
:<math>\Rightarrow f_l(x_1(q_1, \ldots, q_n, t), \ldots, x_{3N}(q_1, \ldots, q_n, t), t) = 0 \quad \mathrm{mit} \; l = 1, \ldots, s \; \mathrm{und} \; n = 3N - s</math>

Holonome Zwangsbedingungen sind mit dem [[vollständiges Differential|vollständigen Differential]] einer Funktion darstellbar:

:<math>\begin{align}
\frac{\partial f_{l}}{\partial x_{1}} \mathrm{d}x_{1} + \frac{\partial f_{l}}{\partial x_{2}} \mathrm{d}x_{2} + \ldots + \frac{\partial f_{l}}{\partial x_{3N}} \mathrm{d}x_{3N} + \frac{\partial f_{l}}{\partial t} \mathrm{d}t & = 0\\
\Leftrightarrow a_{l1} \cdot \mathrm{d}x_{1} + a_{l2} \cdot \mathrm{d}x_{2} + \ldots + a_{l,3N} \cdot \mathrm{d}x_{3N} + a_{lt} \cdot \mathrm{d}t & = 0
\end{align}</math>

und somit integrierbar.

Denn notwendig für die Integrabilität ist, dass die Koeffizientenfunktionen <math>a_{li}</math> folgende [[Integrabilitätsbedingung]] erfüllen:

:<math>\begin{align}
\frac{\partial a_{li}}{\partial x_{k}} & = \frac{\partial a_{lk}}{\partial x_{i}}\\
\Leftrightarrow \frac{\partial^{2}f_{l}}{\partial x_{i} \, \partial x_{k}} & = \frac{\partial^{2}f_{l}}{\partial x_{k} \, \partial x_{i}} \quad\quad i,k \in \{ 1, \ldots, 3N \},
\end{align}</math>

was bei holonomen Bedingungen automatisch gegeben ist (<math>f_l</math> zweimal [[stetig differenzierbar]], siehe [[Satz von Schwarz]]).

Das vollständige Differential läuft darauf hinaus, dass jede holonome Zwangsbedingung als eine Gleichung der Geschwindigkeiten darstellbar ist:

:<math>\begin{alignat}{5}
& a_{l1} \cdot \mathrm{d}x_{1} && + a_{l2} \cdot \mathrm{d}x_{2} + \ldots &&& + a_{l,3N} \cdot \mathrm{d}x_{3N} &&&& + a_{lt} \cdot \mathrm{d}t &&&&& = 0\\
\Leftrightarrow & a_{l1} \cdot \frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} && + a_{l2} \cdot \frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} + \ldots &&& + a_{l,3N} \cdot \frac{\mathrm{d}x_{3N}}{\mathrm{d}t} &&&& + a_{lt} &&&&& = 0
\end{alignat}</math>

==== Anholonome Zwangsbedingungen ====
Nicht-holonome oder auch anholonome Zwangsbedingungen können nicht als Gleichungen zwischen den Koordinaten formuliert werden. Die generalisierten Koordinaten, die in solchen anholonomen Zwangsbedingungen erscheinen, sind i. A. nicht unabhängig voneinander variierbar.

Es handelt sich z. B. um [[Ungleichung]]en, wie Beschränkungen auf einen bestimmten Raumbereich:

:<math> \,f(q_1, q_2, \ldots, q_n, t) > 0</math>

oder um differentielle, nicht-integrable Zwangsbedingungen, wie Gleichungen zwischen den [[Geschwindigkeit]]en (Bsp. für <math>r</math> anholonome Zwangsbedingungen):

:<math>\sum_{i}a_{li} \cdot \mathrm{d}q_{i} + a_{lt} \cdot \mathrm{d}t = 0\ ,\quad l = 1, \ldots ,r</math>

Nicht-integrabel heißt dabei, dass die Gleichung – anders als bei holonomen Zwangsbedingungen – nicht als vollständiges Differential einer Funktion darstellbar ist. Somit wird hier die Integrabilitätsbedingung von den Koeffizientenfunktionen nicht erfüllt:

:<math>\frac{\partial a_{li}}{\partial q_k} \neq \frac{\partial a_{lk}}{\partial q_i} \quad\quad i,k \in \{ 1, \ldots ,n \}</math>

=== Bezüglich Zeitabhängigkeit ===
Weiterhin werden Zwangsbedingungen bez. ihrer [[Zeit]]<nowiki/>abhängigkeit unterschieden in:
* rheonom (fließend), wenn sie explizit von der Zeit abhängen.
* skleronom (starr), wenn sie ''nicht'' explizit von der Zeit abhängen.

Skleronome Zwangsbedingungen führen bei Anwendung des [[Lagrange-Formalismus|Lagrange’schen Formalismus]] in der Regel zu der Feststellung, dass das [[Potential (Physik)|Potential]] ''nicht implizit'' von der Zeit abhängt. Ist das Potential nun auch ''nicht explizit'' zeitabhängig, so sind die [[Konservative Kraft|Kräfte konservativ]] und die [[Energieerhaltung|Energie ist erhalten]].
In diesem Fall ist die [[Hamiltonfunktion]] – die [[Legendre-Transformation|Legendre-Transformierte]] der Lagrange-Funktion – gleich der Gesamtenergie.

Dagegen lassen holonom-rheonome Zwangsbedingungen ''nicht'' direkt den Schluss auf eine Nicht-Erhaltung der Energie zu.

== Beispiele ==
[[Datei:Pendel PT.svg|mini|Die Länge des Fadens bleibt konstant, das Pendel wird auf eine Kreisbahn gezwungen]]
=== Das Pendel: holonom und skleronom ===
Der Stab eines ebenen [[Mathematisches Pendel|Pendels]] (d. h. nur 2 Raumdimensionen) soll stets die gleiche Länge <math>l</math> besitzen, muss also aufgrund des [[Satz des Pythagoras|Satzes von Pythagoras]] folgende Zwangsbedingung erfüllen (Anzahl der Zwangsbedingungen: <math>s = 1</math>):

:<math>f_1(x_1, x_2) = 0 \quad \mathrm{mit} \; x_1 = x, x_2 = y</math>
:<math>\Leftrightarrow x^2 + y^2 - l^2 = 0</math>

Dabei bildet der Auslenkungswinkel <math>\varphi</math> des Pendels aus der Senkrechten die generalisierte, einzige Koordinate, da <math>n = 2N - s = 1</math>. Die Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> des Kugelmittelpunktes hängen von <math>\varphi</math> ab (Annahme: <math>x</math> nach rechts, <math>y</math> nach unten, Ursprung im Aufhängungspunkt):

::<math>\begin{align}
x = l \cdot \sin\varphi\\
y = l \cdot \cos\varphi
\end{align}</math>

Die generalisierte Koordinate erfüllt automatisch die Zwangsbedingung:

:<math>\begin{align}
(l \cdot \sin\varphi)^2 + (l \cdot \cos\varphi)^2 - l^2 = 0\\
\Leftrightarrow l^2 \cdot (\sin^2\varphi + \cos^2\varphi - 1) = 0
\end{align}</math>

da allgemein gilt:

::<math>\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1</math>

Dies ist ein Beispiel für eine holonome Zwangsbedingung und, da sie nicht explizit von der Zeit abhängt (<math>f_1\neq f_1(t)</math>), für eine skleronome Zwangsbedingung.

Vollständiges Differential der Zwangsbedingung:

:<math>\begin{alignat}{3}
& \frac{\partial (x^2 + y^2 - l^2)}{\partial x} \mathrm{d}x && + \frac{\partial (x^2 + y^2 - l^2)}{\partial y} \mathrm{d}y + \frac{\partial (x^2 + y^2 - l^2)}{\partial t} \mathrm{d}t &&& = 0\\
\Leftrightarrow & 2x \cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} && + 2y \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &&& = 0\\
\Leftrightarrow & x \cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} && + y \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &&& = 0
\end{alignat}</math>

Die Geschwindigkeits-Komponenten des Pendels lassen sich in der generalisierten Koordinate wie folgt ausdrücken (aufgrund der Zwangsbedingung kann sich die Kugel nur senkrecht zum Stab bewegen; Annahme hier: Bewegung nach rechts oben):

::<math>\begin{align}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = v \cdot \cos\varphi\\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = - v \cdot \sin\varphi
\end{align}</math>

mit dem [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>v = l \cdot \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}</math> der gesamten Geschwindigkeit.

Einsetzen der generalisierten Koordinate in die Zwangsbedingung in Form des vollständigen Differentials:

:<math> \Rightarrow (l \cdot \sin\varphi) \cdot (v \cdot \cos\varphi) + (l \cdot \cos\varphi) \cdot (- v \cdot \sin\varphi)= 0</math>

das somit ebenfalls automatisch erfüllt ist.

=== Teilchen in Kugel: anholonom und skleronom ===
Ein Teilchen sei in einer [[Kugel]] eingesperrt. Das bedeutet mathematisch, dass die Entfernung des Teilchens vom Mittelpunkt der Kugel (Koordinatenursprung) stets kleiner sein muss als der Radius R der Kugel:

:<math>\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} < R</math>
:<math>\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 < R^2</math>

Da diese Zwangsbedingung aus einer Ungleichung besteht, ist sie ''nichtholonom'', und darüber hinaus, da sie nicht explizit von der Zeit abhängt, auch skleronom.

== Literatur ==
* [[Herbert Goldstein|H. Goldstein]]: ''Klassische Mechanik''. Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40589-3
* [[Torsten Fließbach|T. Fließbach]]: ''Mechanik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik I''. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2148-7

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Zwangsbedingung - Versionsgeschichte

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