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2024-05-21T17:23:08Z

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Die '''Zustandsdichte''' <math>D(E)</math> bzw. <math>D(\omega)</math> (engl. {{lang|en|''density of states''}}, abgekürzt ''DOS'') ist eine [[physikalische Größe]], die angibt, wie viele [[Zustand (Physik)|Zustände]] pro [[Energie]]<nowiki />intervall <math>\mathrm{d}E</math> bzw. pro [[Frequenz]]<nowiki />intervall <math>\mathrm{d}\omega</math> in einem physikalischen System existieren.

Im Allgemeinen wird die Zustandsdichte für [[Vielteilchensystem]]e im Rahmen eines Modells unabhängiger Teilchen betrachtet. Dann beziehen sich die Variablen <math>\omega</math> bzw. <math>E=\hbar \omega</math> auf die Energie der 1-Teilchenzustände. Häufig wird die Zustandsdichte dann auch in Abhängigkeit vom [[Impuls]] <math>\vec{p} = \hbar \vec{k}</math> bzw. [[Wellenvektor]] <math>\vec{k}</math> der 1-Teilchenzustände betrachtet und gibt deren Anzahl pro Volumenintervall des Impulsraums (<math>\mathrm{d}^3\vec{p}</math>) bzw. des [[Reziproker Raum|reziproken Raums]] (<math>\mathrm{d}^3\vec{k}</math>) an. Die Zustandsdichte kann sich auf verschiedene Teilchensorten beziehen, z. B. auf [[Photon]]en, [[Phonon]]en, [[Elektron]]en, [[Magnon]]en, [[Quasiteilchen]], und wird pro Einheit des räumlichen Volumens angegeben. Für freie Teilchen ohne [[Spin]] lässt sich die Zustandsdichte daraus berechnen, dass im [[Phasenraum]] jeder quantenmechanische Zustand das Volumen <math>(2 \pi \hbar)^3</math> einnimmt. Die Zustandsdichte (pro Volumen) <math>D(\vec{k}) </math> ist dann konstant
:<math>D(\vec{k})\, \mathrm{d}^3\vec{k} = \frac{1}{(2 \pi)^3} \, \mathrm{d}^3\vec{k}\ .</math>
Im Falle von Wechselwirkungen der Teilchen, sei es untereinander oder mit vorgegebenen Potentialen, kann die Zustandsdichte stark davon abweichen (siehe z. B. [[Bändermodell]]).

== Definition ==
Allgemein ist die – auf das [[Volumen]] <math>V</math> bezogene – Zustandsdichte für eine [[Abzählbare Menge|abzählbare]] Anzahl <math>N</math> an [[Energieniveau]]s definiert durch:

:<math>D(E) = \frac{1}{V} \cdot \sum_{i=1}^N \delta(E - E(\vec{k}_i))</math>

mit der [[Delta-Distribution]] <math>\delta</math>.

Daraus erhält man durch [[Erweitern]] mit <math>(\Delta k)^d = \left( \frac{2 \pi}{L} \right)^d</math> (der kleinsten erlaubten Änderung von <math>k</math> für ein [[Teilchen]] in einem <math>d</math>-dimensionalen Kasten der Länge <math>L</math>) beim Übergang zu einem [[Riemann-Integral]] (Limes <math>L \to \infty</math>) die auf das Volumen bezogene Zustandsdichte für kontinuierliche Energieniveaus:

:<math> D(E) := \int_{\R^d}\frac{\mathrm{d}^d k}{(2\pi)^d} \cdot \delta(E - E(\vec k)) \qquad (*)</math>

mit
* <math>d</math> der räumlichen Dimension des betrachteten Systems
* dem Betrag <math> k </math> des [[Wellenvektor]]s.

Äquivalent kann die Zustandsdichte auch als [[Differentialrechnung#Ableitungsfunktion|Ableitung]] der [[Zustandssumme #Mikrokanonische Zustandssumme|mikrokanonischen Zustandssumme]] <math>Z_m(E) = N(E)</math> nach der Energie aufgefasst werden:

:<math>D(E) = \frac{1}{V} \cdot \frac{\mathrm{d} N(E)}{\mathrm{d}E}</math>

Die Zahl der Zustände mit Energie <math>E'</math> ([[Entartung (Quantenmechanik)|Entartungsgrad]]) ist gegeben durch:

:<math>g(E') = \lim_{\Delta E \to 0} \int_{E'}^{E'+\Delta E} D(E) \mathrm{d}E = \lim_{\Delta E \to 0} D(E') \Delta E </math>, wobei das letzte Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn der [[Mittelwertsatz der Integralrechnung]] für das Integral anwendbar ist.

=== Anschauung ===
Anschaulich zählt man die [[Mikrozustand|Mikrozustände]] für eine vorgegebene Energie <math>E</math>:
betrachtet man ein System mit <math>N</math> Mikrozuständen <math>i</math>, so wird die Zustandsdichte beschrieben durch

:<math>D(E) = \sum_{i=1}^N \delta(E - E_i)</math>

da das Integral über die Zustandsdichte gerade die Gesamtzahl <math>N</math> der Mikrozustände liefert:

:<math>\int_{\R}\sum_{i=1}^N \delta(E-E_i) \mathrm{d}E = \sum_{i=1}^N = N</math>

und außerdem liefert folgendes Integral die Zahl <math>n(\tilde{E})</math> der Mikrozustände bei Energie <math>\tilde{E}</math>:

:<math>\lim_{\Delta E \to 0} \int_{\tilde{E}-\Delta E}^{\tilde{E}+\Delta E}\underbrace{\sum_{i=1}^N\delta(E-E_i)}_{D(E)} \mathrm{d}E =\lim_{\Delta E \to 0} \sum_{j\in \{k|E_k \in [\tilde{E}-\Delta E, \tilde{E} +\Delta E]\}} \underbrace{\int_{\tilde{E}-\Delta E}^{\tilde{E}+\Delta E}\delta(E-E_j)dE}_{=1}= n(\tilde E)</math>

In obiger Formel <math>(*)</math> ist ''zumindest für die Anschauung'' die Eigenschaft <math>\delta(g(x)) = \sum_{i=1}^{n}\frac{\delta(x - x_{i})}{|g^{\prime}(x_{i})|}</math> der Deltadistribution wichtig, die jedoch nur für endlich viele und einfache [[Nullstelle]]n <math>x_i</math> von <math>g(x)</math> gilt.

== n-dimensionales Elektronengas ==
Die folgenden Erläuterungen beziehen sich vorrangig auf Anwendungen in der [[Festkörperphysik]].
[[Datei:Dos - 2.png|mini|Zustandsdichte über der Energie abhängig von der Dimension (3D = gepunktet, 2D = rot, 1D = grün, 0D = blau). Die Sprünge in den Zustandsdichten für die Dimensionen D=0 bis D=2 sind darin begründet, dass in diesen Fällen die Zustandsdichten um verschiedene Energiezustände gezeichnet sind. Um diese Energiezustände herum hat die Zustandsdichte dann die berechnete und in der Tabelle dargestellte Form.]]

In einem <math>n</math>-dimensionalen [[Elektronengas]] können sich [[Ladungsträger (Physik)|Ladungsträger]] in den Dimensionen <math>1, \dotsc , n</math> frei bewegen. Der entsprechende Anteil der Energie ist kontinuierlich und kann unter Nutzung der parabolischen Näherung angegeben werden:
:<math> E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} </math>
Dabei ist
* <math>m^*</math> die [[effektive Masse]] des Ladungsträgers im Festkörper, genauer ist <math>m^*</math> die effektive Zustandsdichtemasse
* <math> \hbar </math> die (durch <math> 2\pi </math> geteilte) [[Planck-Konstante]].
Im Gegensatz dazu ist die Energiekomponente der anderen Dimensionen [[Diskretisierung|diskretisiert]] in den Werten <math>E_l</math>. Die (auf das Volumen <math>V</math> bezogene) Zustandsdichte kann allgemein beschrieben werden:
:<math> D(E) = 2 \cdot \frac{\mathrm{d} N(E)}{\mathrm{d}E} \frac{1}{V}.</math>
Darin entspricht

* der Vorfaktor 2 den zwei möglichen [[Spin]]<nowiki />zuständen (oft wird er aber in <math>N(E)</math> berücksichtigt, hier wurde dies nicht so gemacht)
* <math>V = L_x \cdot L_y \cdot L_z </math> dem Volumen des Festkörpers
* <math>N(E)</math> der Anzahl aller Zustände mit Energie kleiner gleich <math>E</math> (vgl.: [[Zustandssumme#Mikrokanonische Zustandssumme|Mikrokanonische Zustandssumme]] <math>Z_m</math>):
:<math>N(E) =
\begin{cases}
\frac{V_k}{\Omega_k} & \text{wenn} \quad n = 3\\
\sum_l \Theta(E-E_l) \frac{V_k}{\Omega_k} & \text{wenn} \quad n = 1,2\\
\sum_l \Theta(E-E_l) & \text{wenn} \quad n = 0
\end{cases}
</math>
** <math>V_k</math> beschreibt im <math>n</math>-dimensionalen <math>k</math>-Raum das Gesamtvolumen aller Zustände, die bei der verbleibenden Energie <math>E-E_l</math> zugänglich sind
** <math>\Omega_k</math> ist das Volumen eines solchen Zustandes.
** <math>\Theta</math> ist die [[Heaviside-Funktion]].

{| class="wikitable centered"
|+Werte für verschieden-dimensionale Elektronengase
|- class="hintergrundfarbe5"
! rowspan="2"|
! Gesamtvolumen aller Zustände <math> V_k</math>
! Volumen eines Zustandes <math>{\Omega_k}</math>
! rowspan="2"| (auf das Volumen bezogene) Zustandsdichte <math> D(E)</math>
|-
| colspan = 2 class = "hintergrundfarbe5" style = "text-align:center" | im ''k''-Raum bei der verbleibenden Energie <math>E-E_l</math>
|-
| 3D – Bulk
| <math>\frac{4}{3}\pi k^3 </math>
| <math>\frac{(2\pi)^3}{L_x L_y L_z} </math>
| <math>\frac{(2m^*)^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E} </math>
|-
| 2D – [[Quantentopf|Quantentopf/Quantenfilm]]
| <math> \pi k^2 </math>
| <math>\frac{(2\pi)^2}{L_x L_y}</math>
| <math> \frac{m^*} {\pi\hbar^2 L_z} \sum_l \Theta(E-E_l) </math>
|-
| 1D – [[Quantendraht]]
| <math>2k</math>
| <math>\frac{2\pi}{L_x}</math>
| <math> \frac{\sqrt{2m^*}}{\pi\hbar L_y L_z}\sum_l \frac{1}{\sqrt{E-E_l}} </math>
|-
| 0D – [[Quantenpunkt]]
|
|
| <math> \frac{2}{ L_x L_y L_z}\sum_l \delta (E-E_l)</math>
|}

== Im Halbleiter ==

[[Datei:Density of states in intrinsic Semiconductor DE.svg|mini|Zustandsdichten (farbig) in einem [[Dotierung|undotierten]] [[Halbleiter]] mit direktem [[Bandlücke|Bandübergang]]. Zusätzlich ist die [[Fermi-Verteilung]] bei Raumtemperatur nach links aufgetragen, als Energieniveaus das [[Fermi-Niveau]] ''E''F und die [[Leitungsband]]energie ''E''C.]]

In [[Halbleiter]]materialien ist das nach dem [[Bändermodell]] bestimmte [[Leitungsband]] bei T=0 K unbesetzt und durch eine Energielücke von dem darunter liegenden, voll besetzten [[Valenzband]] getrennt. Werden die Dispersionskurven in der Nähe der Extremwerte parabolisch (quadratisch) genähert, ergeben sich die gleichen Formeln wie für freie Elektronen, nur mit jeweils einer anderen Masse, die als [[effektive Masse]] <math>m^*</math> bezeichnet wird. Die Ladungsträger, also [[Elektron|Elektronen (e)]] im Leitungsband und [[Defektelektron|Löcher (h)]] im Valenzband, verhalten sich in dieser Näherung wie freie (negative bzw. positive) Elektronen mit der Masse <math>m_\mathrm e^*</math> bzw. <math>m_\mathrm h^* </math>. Ist die effektive Masse richtungsabhängig, wählt man als Mittelwert <math>m^*_\mathrm{e,d}</math> bzw. <math>m^*_\mathrm{h,d}</math>die [[Effektive Masse#Effektive Masse als Tensor|Zustandsdichtemasse]]. Sind beide effektiven Massen gleich, liegt das Fermi-Niveau <math>\mu</math> genau in der Mitte der Bandlücke.
[[Datei:Density of states in n-doped Semiconductor DE.svg|mini|Zustandsdichten (farbig) in einem [[Dotierung|n-dotierten]] [[Halbleiter]] mit direktem [[Bandlücke|Bandübergang]]. Energieniveau der Dotieratome ED.]]
Die Energie der Leitungsband-Unterkante sei <math>E_\mathrm{C}</math>, die der Valenzband-Oberkante <math>E_\mathrm{V}</math>, die Differenz ist gleich der Bandlückenenergie <math>E_\mathrm{G}=E_\mathrm{C}-E_\mathrm{V}</math>. Die Zustandsdichte im Leitungsband im Gültigkeitsbereich der quadratischen Näherung ist:
:<math> D_\mathrm{C}(E)=\frac{(2m^*_\mathrm{e,d})^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E-E_\mathrm{C}} </math>
Die Zustandsdichte im Valenzband ist:
:<math> D_\mathrm{V}(E)=\frac{(2m^*_\mathrm{p,d})^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E_\mathrm{V}-E} </math>
Bei [[Dotierung|dotierten]] Halbleitern treten zu diesen möglichen Zuständen noch Zustände in der Bandlücke auf. Diese sind bei <math>n</math>-Dotierung nahe am Leitungsband und bei {{nowrap|1=<math>p</math>-Dotierung}} nahe am Valenzband. Durch Zuführen von Energie kann die [[Aktivierungsenergie]] überwunden werden und es bilden sich vermehrt besetzte Zustände in Leitungs- bzw. Valenzband. Darüber hinaus ändert sich durch Dotierung die Lage des Fermi-Niveaus: es wird bei <math>n</math>-Dotierung angehoben, bzw. senkt sich bei <math>p</math>-Dotierung zum Valenzband hin ab. Bei einer <math>n</math>-Dotierung sind damit bereits bei Raumtemperatur wegen der [[Thermische Energie|thermischen Energie]] weit mehr Zustände im Leitungsband besetzt als bei einem undotierten Material. Die zusätzlichen freien Ladungsträger können damit den [[Elektrischer Strom|Stromtransport]] erhöhen.

Die thermische Besetzung der Zustände wird durch die Fermi-Verteilung bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie <math>[E, E+\mathrm{d}E]</math> besetzt ist, schreibt sich
:<math>W_\mathrm{e}(E) = \frac{1}{\exp{\left(\frac{E-\mu}{k_\mathrm{B}T}\right)}+1}</math>
Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie <math>[E, E+\mathrm{d}E]</math> nicht besetzt oder äquivalent ausgedrückt mit einem Loch besetzt ist, schreibt sich
:<math>W_\mathrm{h}(E) = 1-W_\mathrm{e}(E)=\frac{1}{\exp{\left(-\frac{E-\mu}{k_\mathrm{B}T}\right)}+1}</math>
Damit lassen sich die Ladungsträgerdichten, also Elektronendichte im Leitungsband <math>n</math> und Löcherdichte <math>p</math> im Valenzband, angeben:
:<math>n=\int_{E_\mathrm{C}}^{\infty}W_\mathrm{e}(E)\, D_\mathrm{C}(E)\,\mathrm{d}E</math>
sowie
:<math>p=\int_{-\infty}^{E_\mathrm{V}}W_\mathrm{h}(E)\, D_\mathrm{V}(E)\,\mathrm{d}E</math>
Die Ausdehnung der Integrationsgrenzen über den Gültigkeitsbereich der quadratischen Näherung hinaus ist ohne Belang, weil das chemische Potential im Bereich der Bandlücke liegt und die Fermi-Verteilung daher sehr schnell gegen Null geht. Zur Berechnung dieser Integrale ''siehe'' [[Fermi-Dirac-Integral]].

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Wolfgang Demtröder]]
|Titel=Experimentalphysik, Bd. 3 – Atome, Moleküle und Festkörper
|Auflage=3.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=2005
|ISBN=3-540-21473-9}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle
|autor=
|hrsg=Carl Hepburn
|url=http://britneyspears.ac/physics/dos/dos.htm
|sprache=en
|titel=Semiconductor Physics: Density of States
|werk=Britney Spears’ Guide to Semiconductor Physics
|datum=
|zugriff=2009-04-07}}
* {{Internetquelle
|autor=C.R.Wie
|hrsg=
|url=http://jas.eng.buffalo.edu/education/semicon/fermi/levelAndDOS/index.html
|sprache=en
|titel=Carrier concentration in Si (or in any Semiconductor) versus the Fermi Energy Level and the Density of States
|werk=
|zugriff=2009-04-07
|kommentar=Java-Applet zu Zustandsdichte im Halbleiter}}
* M. Alam: [http://nanohub.org/resources/5784 Online lecture: ECE 606 ''Lecture 8: Density of States''] (englisch).
* {{Internetquelle
|autor=
|hrsg=
|url=http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw2_ge/index.html
|titel=Zustandsdichte des freien Elektronengases – Kapitel 2.2.3
|werk=Einführung in die Materialwissenschaft II, Uni Kiel
|datum=
|zugriff=2010-08-12
|kommentar=Sehr ausführliches und recht verständliches Skript}}
* {{Webarchiv | url=http://rokip.net/physik/theoretische-physik-quantenmechanik/203-herleitung-der-zustandsdichte-in-3d.html | wayback=20131019053743| text=Herleitung der Zustandsdichte freier Teilchen in 3D}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4191170-2|LCCN=sh92002529}}
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Physikalische Größe]]
[[Kategorie:Festkörperphysik]]

Zustandsdichte - Versionsgeschichte

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