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2025-11-07T17:44:47Z

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Die '''Zopfgruppe''' <math>B_n</math> ist die [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], deren Elemente n-strängige Zöpfe sind. Die Gruppenoperation ist die Aneinanderhängung von Zöpfen und das [[Neutrales Element|neutrale Element]] ist der n-Zopf ohne Überkreuzungen.

Es gibt für jede [[natürliche Zahl]] n eine Zopfgruppe <math>B_n</math>. Zopfgruppen werden in dem mathematischen Gebiet der ''[[Topologie (Mathematik)|Topologie]]'' untersucht. Zopfgruppen wurden erstmals in dem Artikel ''Theorie der Zöpfe'' aus dem Jahr 1925 von [[Emil Artin]] definiert; eine ähnliche Konstruktion gab es aber auch schon 1891 in einer Arbeit von [[Adolf Hurwitz]].<ref>Siehe hierzu das Buch von Epple.</ref>

[[Datei:Dreidimensionaler Zopf.png|miniatur|hochkant=1.25|Ein Zopf im dreidimensionalen Raum]]

== Geometrische Definition ==
Ein ''<math>n</math>-strängiger Zopf'' ist eine Menge von <math>n</math> sich nicht schneidenden Kurven <math>k_{i}</math> (mit <math>1\le i\le n</math>) in <math>\mathbb{R}^{3}</math>, die in <math>\left(\frac{i}{n},0,0\right)</math> beginnen, in <math>\left(\frac{\sigma(i)}{n},0,1\right)</math> enden und in deren Parametrisierung die dritte Koordinatenfunktion (in der Abbildung die z-Koordinate) monoton steigend ist. Diese Kurven werden ''Stränge'' genannt.

Jedem n-Zopf ordnet man folgendermaßen ein Element <math>\sigma</math> der symmetrischen Gruppe <math>S_n</math> zu: die Permutation <math>\sigma</math> ist dadurch definiert, dass man dem i-ten Strang zu seinem Endpunkt <math>\sigma(i)</math> folgt. Der [[Kern (Algebra)|Kern]] dieser Abbildung ist die sogenannte ''reine Zopfgruppe''. Sie besteht also nur aus solchen Zöpfen, bei denen der i-te Strang an Position i endet.

Zwei Zöpfe <math>b_{0}</math> und <math>b_{1}</math> sind ''äquivalent'', wenn sie [[Homotopie#Isotopie|isotop]] sind, das heißt, wenn eine stetige Familie von Zöpfen <math>b_t,\,t\in(0,1)</math> existiert, die in <math>b_{0}</math> startet und <math>b_{1}</math> endet.

[[Datei:W generatoren12.png|miniatur|hochkant=1.25|Die Erzeuger <math>\sigma^{-1}_{i}</math> und <math>\sigma_{i}^{}</math>]]

== Gruppeneigenschaften ==
Die Menge aller (Äquivalenzklassen von) <math>n</math>-strängigen Zöpfe erzeugt eine ''[[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]''. Die ''[[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]]'' ist das Anfügen eines Zopfes unter dem anderen, wobei die
<math>z</math>-Koordinate reskaliert wird. Das ''[[Einselement]]'' der Gruppe ist der Zopf mit <math>n</math> parallelen Strängen.

Das ''[[Inverses Element|inverse Element]]'' eines Zopfes ist gerade dessen [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]].

Man kann jeden Zopf als eine Folge von Über- bzw. Unterkreuzungen der Stränge darstellen. Das sind gerade die in der Abbildung gezeigten Erzeuger <math>\sigma_{i}^{\,}</math> bzw. <math>\sigma_{i}^{-1}</math>.

Man kann sich in einer Skizze veranschaulichen, dass jeder Erzeuger <math>\sigma_{i}^{}</math> multipliziert mit seinem Inversen <math>\sigma_{i}^{-1}</math> das neutrale Element ergibt.

== Darstellung durch Erzeuger und Relationen ==
Die Zopfgruppe <math>B_n</math> besitzt die folgende Darstellung durch [[Präsentation einer Gruppe|Erzeuger und Relationen]]:

Erzeuger:
* <math>\sigma_{1}^{},\ldots,\sigma_{n-1}^{}</math>.

Relationen:
* <math>\sigma_{i}\sigma_{j}=\sigma_{j}\sigma_{i}\quad</math>   für   <math>|i-j|\ge2</math>
* <math>\sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i}=\sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1}\quad</math>   für   <math>1\le i\le n-2\,.</math>
(Die letzte Beziehung geht wesentlich über die [[Kommutator (Mathematik)|Kommutatorrelationen]] vertauschbarer [[Observable]]n hinaus (siehe z. B. [[Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]]) und besagt u. a., dass benachbarte Zöpfe in spezieller Weise nicht kommutierbar sind.)

Die obige algebraische Definition ist mit der geometrischen äquivalent.

Insbesondere sind Zopfgruppen ein Spezialfall der [[Artin-Gruppe]]n.


== Beispiele ==
Die Zopfgruppe <math>B_1</math> besteht nur aus einem Element. Die Zopfgruppe <math>B_2</math> ist die unendliche zyklische Gruppe <math>\mathbb{Z}</math>. Die Zopfgruppe <math>B_3</math> hat die Darstellung
: <math> B_3 = \langle \sigma_1,\sigma_2 \mid \sigma_1\sigma_2\sigma_1 = \sigma_2\sigma_1\sigma_2 \rangle </math>
und ist nicht-kommutativ.

== Zopfgruppen als Abbildungsklassengruppen ==
Die [[Abbildungsklassengruppe]] der Kreisscheibe mit <math>n</math> markierten Punkten ist isomorph zur Zopfgruppe <math>B_n</math>.

== Reine Zopfgruppe ==
Jeder n-strängige Zopf bestimmt eine [[Permutation]] der n-elementigen Menge. Die ''reine Zopfgruppe'' ist der Kern des so definierten Homomorphismus <math>B_n\rightarrow S_n</math>.

== Anwendungen ==
Mathematiker interessiert vor allem die Anwendung in der [[Knotentheorie]]:
Indem man das obere Ende des Zopfes mit dem unteren Ende verbindet, erhält man eine [[Verschlingung (Mathematik)|Verschlingung]]. Äquivalente Zöpfe erzeugen äquivalente Verschlingungen. Andererseits kann jede Verschlingung durch isotope Umformung in die Form eines geschlossenen Zopfes gebracht werden ([[Satz von Alexander (Knotentheorie)|Satz von Alexander]]). Wann zwei Zöpfe dieselbe Verschlingung erzeugen, klärt der [[Satz von Markow]] (Andrei Andrejewitsch Markow, 1903–1979, Sohn von [[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1856)|Andrei Andrejewitsch Markow]], 1856–1922).

== Literatur ==
* [[Emil Artin]]: ''Theorie der Zöpfe.'' In: ''Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg.'' 4, 1925, {{ISSN|0025-5858}}, S. 47–72.
* [[Joan Birman]]: ''Braids, Links, and Mapping Class Groups.'' Based on Lecture Notes by James Cannon. Princeton University Press, Princeton NJ 1975, ISBN 0-691-08149-2 (''Annals of Mathematics Studies'' 82).
* [[Moritz Epple]]: ''Die Entstehung der Knotentheorie. Kontexte und Konstruktionen einer modernen mathematischen Theorie.'' Vieweg, Braunschweig u. a. 1999, ISBN 3-528-06787-X.
* Christian Kassel, [[Vladimir Turaev]]: ''Braid Groups.'' Springer, New York NY 2008, ISBN 978-0-387-33841-5 (''Graduate Texts in Mathematics'' 247).
* Bohdan I. Kurpita, Kunio Murasugi: ''A Study of Braids.'' Kluwer, Dordrecht u. a. 1999, ISBN 0-7923-5767-1 (''Mathematics and its Applications'' 484).
* Vassily Manturov: ''Knot Theory.'' Routledge Chapman & Hall, Boca Raton FL u. a. 2004, ISBN 0-415-31001-6 (online bei [https://books.google.de/books?id=juWWdGztaUEC&printsec=frontcover&source=gbs_navlinks_s&hl=de#v=onepage&q=&f=false Google Books]).

== Weblinks ==
{{Commonscat|Braid theory}}

== Quellen ==
<references/>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4225944-7}}

[[Kategorie:Geometrische Topologie]]
[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]
[[Kategorie:Knotentheorie]]

[[fr:Tresses (mathématiques)]]

Zopfgruppe - Versionsgeschichte

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