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2026-02-18T11:44:12Z

Konstruktion eines Zonoeders

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Ein '''Zonotop''' bezeichnet in der [[Geometrie]] die [[Minkowski-Summe]] von Strecken (der Generatoren des Zonotops). Es ist also <math>Z := [-1, 1]v_1 + \cdots + [-1, 1]v_k</math> ein Zonotop im ''d''-dimensionalen Raum, falls <math>v_1, \ldots, v_k</math> Vektoren mit ''d'' Einträgen sind.

== Eigenschaften ==
Ein Zonotop ist immer ein konvexes [[Polytop (Geometrie)|Polytop]], und nach der hier gewählten Definition ist der Ursprung das Zentrum des Zonotops. Jedes Zonotop ist punktsymmetrisch zu seinem Zentrum. Jede Facette eines Zonotops ist wiederum ein Zonotop. Das obige Zonotop ist eine Projektion des ''k''-dimensionalen Einheitswürfels in den ''d''-dimensionalen Raum, also in Matrixnotation
<math>Z := PQ</math>, wobei <math>P := \begin{pmatrix}v_1 & \cdots & v_k\end{pmatrix}</math> die Matrix mit den Generatoren als Spalten eine Projektion und <math>Q := \begin{pmatrix}[-1,1]\\ \vdots \\ {}[-1, 1] \end{pmatrix}</math> den Einheitswürfel darstellt.

== Zonoeder ==
Ein Zonotop im 3-dimensionalen Raum wird als Zonoeder bezeichnet. Dabei wird meist vorausgesetzt, dass sich das Zonoeder nicht auf eine Ebene beschränkt, die Generatoren also nicht [[koplanar]] sind.

=== Konstruktion eines Zonoeders ===
Ecken, Kanten und Facetten eines Zonoeders können aus den Generatoren konstruiert und dann zum Beispiel graphisch dargestellt werden.
Dabei ist die rekursive Konstruktion besonders anschaulich: Zu einem bereits konstruierten Zonoeder wird eine neue Strecke hinzuaddiert. Zum Beispiel soll zum bereits konstruierten 3-dimensionalen Einheitswürfel <math>Q</math> das Segment <math>[-1, 1]v</math> mit <math>v := (1, 1, 1)^\mathsf{T}</math> hinzuaddiert werden. Dazu wird der Würfel entlang der Kanten aufgeschnitten, die das Segment berühren. Danach werden die Hälften jeweils um den Vektor <math>v</math> und <math>-v</math> verschoben und die entstandene Lücke durch die neue „Zone“ geschlossen.

<gallery>
Zonotope-cut-cube.svg|Würfel aufschneiden
Zonotope-lift-cube.svg|Hälften heben
Zonotope-fill-cube.svg|Lücke füllen
</gallery>

== Beispiel ==
Das Zonoeder mit den Generatoren
<math>
\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}
</math>
stellt den [[Oktaederstumpf]] [[Datei:Uniform polyhedron-33-t012.png|120px]] dar.

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor = [[Harold Scott MacDonald Coxeter]] | Titel = Regular Polytopes
| Verlag = Dover Publications | Ort= New York | Jahr = 1973
|ISBN= 0-4866-1480-8 | Seiten = 27–30}}
* {{cite journal
| author = [[David Eppstein]]
| year = 1996
| title = Zonohedra and zonotopes
| journal = Mathematica in Education and Research
| volume = 5
| issue = 4
| pages = 15–21
| url = https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/ukraine/ukraine.html}}

== Weblinks ==
* [https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/zono.html ''The Geometry Junkyard: Zonohedra and Zonotopes''] auf ics.uci.edu
* [https://decatur.de/zonotopebuilder/ Online ''Zonotope Builder and Viewer''] auf decatur.de

[[Kategorie:Polytop]]

[[en:Zonohedron]]

Zonotop - Versionsgeschichte

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