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Die '''Zitterbewegung''' ist eine theoretische, schnelle Bewegung von [[Elementarteilchen]], speziell von [[Elektron]]en, die der ([[relativistisch]]en) [[Dirac-Gleichung]] gehorchen.

Die Existenz einer solchen Bewegung wurde 1928 von [[Gregory Breit]] und 1930 von [[Erwin Schrödinger]] [[Postulat|postuliert]], als Ergebnis seiner Analyse von [[Wellenpaket]]-Lösungen der Dirac-Gleichung für relativistische Elektronen im [[Vakuum]]. In diesem produziert eine [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] zwischen dem positiven und dem negativen [[Energiezustand]] eine [[Fluktuation]] der Position des Elektrons um den [[Mittelwert]] mit einer [[Kreisfrequenz]] von

:<math>\omega = 2 m_\mathrm e c^2 / \hbar \approx 1{,}6 \cdot 10^{21}\, \text{s}^{-1} </math>

mit
* der Elektronenmasse <math>m_\mathrm e</math>
* der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math>
* der reduzierten [[Planck-Konstante]] <math>\hbar</math>.

Die Zitterbewegung eines freien relativistischen Teilchens wurde nie beobachtet, aber das Verhalten eines solchen Teilchens wurde mit einem eingesperrten [[Ion]] ''simuliert'', indem man es in eine Umgebung platzierte, so dass die nicht-relativistische [[Schrödinger-Gleichung]] für das Ion dieselbe mathematische Form wie die Dirac-Gleichung hat (obwohl die physikalische Situation anders ist).<ref name="ionen" /><ref name="scharf" />

== Theorie ==
Ausgangspunkt für die Zitterbewegung ist die [[Dirac-Gleichung#Schrödingerform|Dirac-Gleichung in Schrödingerform]] im [[Schrödinger-Bild]]
:<math>\mathrm i \partial_t |\psi\rangle = H |\psi\rangle = (\gamma^0 m + \alpha^i p_i) |\psi\rangle</math>,
wobei <math>H</math> der [[Hamiltonoperator]], <math>m</math> die Masse des Teilchens, <math>\vec p</math> der [[Impulsoperator]], <math>\alpha^i = \gamma^0 \gamma^i</math> und <math>\gamma^\mu</math> die [[Dirac-Matrizen]] sind.

Im Schrödinger-Bild sind die Zustände zeitabhängig, wohingegen die Operatoren keine Zeitabhängigkeit tragen. Im [[Heisenberg-Bild]] ist das Umgekehrte der Fall und die Bewegungsgleichungen für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator <math>Q</math> lautet
:<math> \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t} = \mathrm i [H, Q]</math>.

Für die <math>k</math>-te Komponente des [[Ortsoperator]]s gilt
:<math> \frac{\mathrm{d} x_k}{\mathrm{d} t} = \mathrm i\left[ H, x_k \right] = \alpha_k</math>
aufgrund der [[Kanonische Vertauschungsrelation|kanonischen Vertauschungsrelationen]] <math>[x_i,p_j] = \mathrm i\delta_{ij}</math>. Insbesondere kann der Operator <math>\alpha_k</math> im Heisenberg-Bild als <math>k</math>-te Komponente des „Geschwindigkeitsoperators“ interpretiert werden.

Die Zeitabhängigkeit des Geschwindigkeitsoperators ist aufgrund der Dirac-Algebra gegeben durch
:<math> \frac{\mathrm{d} \alpha_k}{\mathrm{d} t} = \mathrm i \left[ H, \alpha_k \right] = 2\mathrm i[p_k - \alpha_k H]</math>.

Weil sowohl <math>p_k</math> als auch <math>H</math> zeitunabhängig sind, denn <math>[H,H] = [H,p_k] = 0</math>, ist dies eine inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung für <math>\alpha_k(t)</math>. Ihre Lösung lautet:
:<math>\alpha_k (t) = (\alpha_k (0) - p_k H^{-1})\, \mathrm e^{-2 \mathrm i H t} + p_k H^{-1} </math>.

Um die Gleichung für <math>x(t)</math> zu erlangen, kann diese Gleichung integriert werden und es ergibt sich:
:<math> x_k(t) = x_k(0) + p_k H^{-1} t + \frac{1}{2} \mathrm i (\alpha_k (0) - p_k H^{-1}) H^{-1} (\mathrm e^{-2 \mathrm i H t} - 1).</math>

Der resultierende Ausdruck besteht aus
* einer Anfangsposition <math> x_k(0)</math>
* einem Bewegungsanteil <math> p_k H^{-1} t</math> proportional zur Zeit und
* einem unerwarteten Schwingungsanteil („Zitterbewegung“) <math> \tfrac{1}{2} \mathrm i (\alpha_k (0) - p_k H^{-1}) H^{-1}(\mathrm e^{-2 \mathrm i H t} - 1)</math> mit einer Amplitude, die der [[Compton-Wellenlänge]] entspricht.

Interessanterweise verschwindet der Zitterbewegungsterm, wenn man die [[Erwartungswert]]e für Wellenpakete nimmt, die vollständig aus Wellen mit positiver Energie (oder vollständig aus Wellen mit negativer Energie) bestehen. Dies kann durch die [[Foldy-Wouthuysen-Transformation]] erreicht werden.

== Siehe auch ==
* [[Casimir-Effekt]]
* [[Lamb-Verschiebung]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gregory Breit]]
|Titel=An Interpretation of Dirac's Theory of the Electron
|Sammelwerk=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]]
|Band=14
|Nummer=7
|Datum=1928
|Seiten=553-559
|Sprache=en
|DOI=10.1073/pnas.14.7.553}}
* {{Literatur
|Autor=[[Erwin Schrödinger]]
|Titel=Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik
|Sammelwerk=Sonderausgabe aus den Sitzungsberichten der Preußischen Akademie der Wissenschaften Phys.-Math. Klasse
|Band=24
|Datum=1930
|Seiten=418–428
|ZDB=959457-7}}
* {{Literatur
|Autor=Erwin Schrödinger
|Titel=Zur Quantendynamik des Elektrons
|Sammelwerk=Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse
|Datum=1931
|Seiten=63–72}}
* {{Literatur
|Autor=[[Albert Messiah]]
|Titel=Quantum Mechanics
|Band=2
|Verlag=North-Holland
|Ort=Amsterdam
|Datum=1962
|Kapitel=XX.37
|Seiten=950–952
|Sprache=en}}
* {{Literatur
|Autor=George Sparling
|Titel=Zitterbewegung
|Sammelwerk=Seminaires & Congrès
|Band=4
|Datum=2000
|Seiten=277–305
|Sprache=en
|Online=http://www.emis.de/journals/SC/2000/4/pdf/smf_sem-cong_4_277-305.pdf
|Format=PDF
|KBytes=337
|ZDB=2045737-6}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle |autor=[[Tobias Brandes]] |url=http://www1.itp.tu-berlin.de/brandes/qm2011.pdf |titel=Vorlesungsskript Quantenmechanik II, TU Berlin, WS 2011/12 |seiten=21–25 |format=PDF |sprache=de |abruf=2018-09-03}}
* {{Literatur
|Autor=Adrian Wüthrich
|Hrsg=Shaul Katzir, Christoph Lehner und Jürgen Renn
|Titel=Feynman’s Struggle and Dyson’s Surprise: The Development and Early Application of a New Means of Representation
|Sammelwerk=Traditions and Transformations in the History of Quantum Physics. Third International Conference on the History of Quantum Physics, Berlin, June 28 – July 2, 2010
|Datum=2013
|ISBN=978-3-8442-5134-0
|Seiten=277-279
|Sprache=en
|Kommentar=Historische Betrachtung
|Online=http://edition-open-access.de/proceedings/5/13/index.html#29}}
* {{Literatur
|Autor=David Hestenes
|Titel=The zitterbewegung interpretation of quantum mechanics
|Sammelwerk=Found Phys
|Band=20
|Datum=1990
|Seiten=1213
|Sprache=en
|Kommentar=eine alternative Erklärung über die Interferenz der positiven und negativen Energiezustände hinaus
|DOI=10.1007/BF01889466}}
* {{Literatur
|Autor=Christoph Wunderlich
|Titel=Zitternd in der Falle
|Sammelwerk=Physik Journal
|Band=9
|Nummer=3
|Datum=2010
|Seiten=20-24
|Sprache=de
|Online=http://www.pro-physik.de/details/articlePdf/1102655/issue.html
|Format=PDF
|KBytes=}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="scharf">
{{Internetquelle
|autor=Rainer Scharf
|url=http://www.pro-physik.de/details/news/1112187/Atomare_Zitterpartie.html
|titel=Atomare Zitterpartie
|werk=pro-physik.de
|datum=2010-01-07
|sprache=de
|abruf=2018-09-03
|kommentar=Zusammenfassung zur Simulation von eingesperrten Ionen}}
</ref>
<ref name="ionen">
{{Internetquelle
|url=https://www.scinexx.de/news/technik/auch-quantenteilchen-zittern/
|titel=Auch Quantenteilchen zittern – Quantensimulation eines relativistischen Teilchens gelungen
|werk=scinexx.de
|datum=2010-01-07
|sprache=de
|abruf=2023-05-11}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Zitterbewegung - Versionsgeschichte

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