imported>Ulricus Angelus: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */

2025-02-12T11:12:52Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0

Neue Seite

[[Datei:Zissoide2.svg|mini|hochkant=1|Zissoide]]
Die '''Zissoide des Diokles''' (auch: '''Kissoide des Diokles''') ist eine spezielle [[Funktionsgraph|Kurve]] 3. Ordnung, die von dem griechischen [[Mathematiker]] [[Diokles (Mathematiker)|Diokles]] (um 200 v. Chr.) beschrieben wurde, um mit diesem Hilfsmittel das Problem der [[Würfelverdoppelung]] (auch als delisches Problem bekannt) zu lösen. (Mit Zirkel und Lineal allein ist diese Konstruktionsaufgabe nicht zu schaffen.) Der Name stammt von dem griechischen Wort κισσοειδής (''kissoeidēs'') für efeuförmig.

== Gleichungen der Zissoide ==

* [[Kartesisches Koordinatensystem|Kartesische Koordinaten]]: <math>y^2 \, (2 a - x) - x^3 = 0</math> <ref name="Bronstein-97">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=97 |Kommentar=Andere Bezeichnung: a statt 2a}}</ref>
* Parametergleichung: <math>x = \frac{2 a t^2}{1 + t^2}; \qquad y = \frac{2 a t^3}{1 + t^2}</math> <ref name="Bronstein-97" />
* [[Polarkoordinaten]]: <math> r =\frac{2a}{\cos(\varphi)}-2a\cos(\varphi)=2 a \sin\varphi \tan\varphi = \frac{2a \sin^2\varphi}{\cos\varphi}</math> <ref name="Bronstein-97" />

== Eigenschaften der Zissoide ==
[[Datei:Parabel fusspunkkurve zissoide diokles.svg|mini|hochkant=1.0|Zissoide als Fußpunktkurve]]
* Die [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] der Zissoide sind gekennzeichnet durch folgende geometrische Eigenschaft: Gegeben seien ein [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] mit [[Radius]] a, ein Punkt S auf diesem Kreis und diejenige [[Tangente]], die diesen Kreis im Punkt gegenüber von S berührt. Bezeichnet man nun für einen beliebigen Punkt P der Zissoide den Schnittpunkt der [[Gerade (Geometrie)|Geraden]] SP mit dem Kreis als K und den Schnittpunkt von SP mit der erwähnten Kreistangente als A, so sind die Streckenlängen <math>\overline{SP}</math> und <math>\overline{KA}</math> gleich groß (Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition [[Zissoide|allgemeiner Zissoiden]]).
* Die Gerade der Gleichung <math>x \, = 2 a</math> ist Asymptote der Kurve.<ref name="Bronstein-97" />
* Die Fläche, die von der Zissoide und ihrer Asymptote begrenzt wird, hat den Flächeninhalt <math>3 \, \pi a^2</math>.<ref name="Bronstein-97" />
* Die Zissoide ergibt sich auch als Fußpunktkurve einer Parabel, wenn man deren Scheitelpunkt als Bezugspunkt wählt.

== Literatur ==
* [[Dörte Haftendorn]]: ''Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen''. Springer, 2016, ISBN 9783658147495, S. 64–67, 74–78, [https://books.google.de/books?id=DWe3DQAAQBAJ&pg=PA258 258–261]
* Eugene V. Shikin: ''Handbook and Atlas of Curves''. CRC Press, 1996, ISBN 9780849389634, S. [https://books.google.de/books?id=_bpdsNuyUegC&pg=PA110 110-118]
* Jan van Maanen: ''From Quadrature to Integration: Thirteen Years in the Life of the Cissoid''. In: ''The Mathematical Gazette'', Band 75, Nr. 471 (März, 1991), S. 1–15 ([https://www.jstor.org/stable/3618976 JSTOR])

== Weblinks ==
{{Commonscat|Cissoid}}
* {{MathWorld |id=CissoidofDiocles |title=Cissoid of Diocles}}
* {{MacTutor |id=Cissoid |title=Cissoid |page=cur}}
* Xah Lee: [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/CissoidOfDiocles_dir/cissoidOfDiocles.html ''Cissoid of Diocles''.] (englisch)
* [https://download.uni-mainz.de/mathematik/Algebraische%20Geometrie/Lehre/Sem-Ausgewaehlte-hoehere-Kurven-WS2016-17/Prass%20P_De%20Lon%20A%20_%20Allg%20Kissoiden_271016_031116.pdf allgemeine Kissoiden]
* [http://eckartschmidt.de/Zisso.pdf Zissoide zu Gerade und Kreis]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Zissoide des Diokles - Versionsgeschichte

imported>Ulricus Angelus: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */