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[[Datei:Zindler-kurve1.svg|mini|Zindler-Kurve: Jede der gleich langen Sehnen halbiert die Länge der Kurve und ihren Flächeninhalt.]]
[[Datei:Zindler-kurven13.svg|mini|Beispiele von Zindlerkurven: konvexe (rot) und nicht konvexe]]
Eine '''Zindlerkurve''' ist eine geschlossene doppelpunktfreie [[Weg (Mathematik)|Kurve]] in der Ebene mit der Eigenschaft, dass

:'''(L)''' alle [[Sehne (Mathematik)|Sehnen]], die die Kurve halbieren, gleich lang sind.

Das einfachste Beispiel für eine Zindlerkurve ist ein [[Kreis (Geometrie)|Kreis]]. [[Konrad Zindler]] entdeckte 1921, dass es weitere solche Kurven gibt, und beschrieb ein Konstruktionsverfahren. [[Herman Auerbach]] war 1938 der Erste, der den Namen Zindlerkurven (französisch ''courbes de Zindler'') benutzte.

Eine äquivalente charakterisierende Eigenschaft der Zindlerkurven ist, dass
:'''(F)''' alle Sehnen, die die innere Fläche der geschlossenen Kurve halbieren, gleich lang sind. Es handelt sich dabei um die gleichen Sehnen, die auch die Kurvenlänge halbieren.

'''Beispiele:'''<ref>W. Wunderlich: ''Algebraische Beispiele ebener und räumlicher Zindler-Kurven.'' Publ. Math. Debrecen 24 (1977), 289–297 (S. 291).</ref><br>
Jede der von dem Scharparameter <math>a</math> abhängigen Kurven (der Einfachheit halber in der komplexen Ebene beschrieben)
:<math> z(u)=x(u) +iy(u)=e^{2iu}+2e^{-iu} +ae^{iu/2}\; , \ u\in [0,4\pi]\; , </math>
ist für <math>a>4</math> eine Zindlerkurve.<br />
Für <math>a\ge 24</math> ist die Kurve sogar ''konvex.''<br />
In der Zeichnung sind die Kurven für <math>a=8</math> (blau), <math>a=16</math> (grün) und <math> a=24</math> (rot) zu sehen.<br />
Ab <math>a\ge 8</math> ist die Kurve von einem [[Gleichdick]] ableitbar.

[[Datei:Zindler-ku-a-4.svg|mini|Die Kurve mit a=4 ist KEINE Zindlerkurve, weil es Sehnen gibt, die einen dritten Punkt mit der Kurve gemeinsam haben.]]
''Nachweis der Eigenschaft '''(L)''':'' Aus der Ableitung
:<math> z'(u)=i\Big(2e^{2iu}-2e^{-iu} +\frac{a}{2}e^{iu/2}\Big) \;</math> ergibt sich
:<math> |z'(u)|^2=z'(u)\overline{z'(u)}= \cdots =8+\frac{a^2}{4}-8\cos 3u \; .</math>
Damit ist <math>|z'(u)|</math> eine <math>2\pi</math>-[[periodische Funktion]] und es gilt für
jedes <math>u_0</math> die Gleichung
: <math> \int_{u_0}^{u_0+2\pi} |z'(u)| \, du = \int_0^{2\pi} |z'(u)|\,du \; . </math>
Letzteres ist damit auch die halbe Länge der Kurve.
Die Sehnen, die die Kurvenlänge halbieren, lassen sich also durch Kurvenpunkte <math>\;z(u_0)\; ,\;z(u_0+2\pi)\;</math> mit <math> u_0 \in [0,4\pi]</math> beschreiben. Für die Länge solch einer Sehne ergibt sich
:<math>|z(u_0+2\pi)-z(u_0)|= \cdots =|2ae^{iu_0/2}|=2a</math>
und diese ist damit unabhängig von <math>u_0</math>.

Für <math>a=4</math> gibt es unter den hier beschriebenen Sehnen welche, die mit der Kurve einen dritten Punkt gemeinsam haben (s. Bild). Also können nur die Kurven der Beispielschar mit <math>a>4</math> Zindlerkurven sein. (Der Beweis, dass für <math>a>4</math> die verwendeten Sehnen keine weiteren Punkte mit der Kurve gemeinsam haben, wurde hier nicht geführt.)

== Literatur ==

* Herman Auerbach: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm7/sm7112.pdf Sur un problème de M. Ulam concernant l’équilibre des corps flottants.]'' (PDF; 796 kB), Studia Mathematica 7, 1938, S. 121–142.
* K. L. Mampel: ''[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0234 Über Zindlerkurven.]'' Journal für reine und angewandte Mathematik 234, 1969, S. 12–44.
* Konrad Zindler: ''Über konvexe Gebilde. II. Teil.'' Monatshefte für Mathematik und Physik 31, 1921, S. 25–56.

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Zindlerkurve - Versionsgeschichte

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