imported>TaxonKatBot: Bot: Kategorie:Mathematischer Grundbegriff entfernt: laut Diskussion

2026-02-17T06:08:09Z

Bot: Kategorie:Mathematischer Grundbegriff entfernt: laut Diskussion

Neue Seite

[[Bild:Aplicación no inyectiva no sobreyectiva.svg|thumb|right|250 px|Abbildung 1: Eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math>.]]

In der [[Mathematik]] wird bei einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon A \to B</math>, die die [[Element (Mathematik)|Element]]e einer [[Mengenlehre|Menge]] <math>A</math> auf Elemente einer Menge <math>B</math> abbildet, <math>B</math> als '''Zielmenge'''<ref>Harro Heuser, ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1.'' 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S. 104.</ref> oder '''Wertevorrat'''<ref>[http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Kap_1.pdf G. Wittstock ''Vorlesungsskript zu Analysis 1''] (PDF; 365 kB) Wintersemester 2000-2001. Bezeichnung 1.3.3, S. 19.</ref><ref name="Dobbener">Reinhard Dobbener: ''Analysis''. Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2007, ISBN 3486579991. S 12, Definition 1.12.</ref> der Funktion bezeichnet.

Häufig wird dafür auch das Wort ''Wertemenge''<ref> {{Webarchiv|text=Andreas Gathmann: Vorlesung ''Grundlagen der Mathematik'', Kapitel 1 ''Etwas Logik und Mengenlehre'' |url=http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/gdm-2011/chapter-1.pdf |wayback=20160304200018}} Seite 13, Definition 1.18.</ref> oder ''Wertebereich''<ref name="Dobbener"/><ref>[http://www.mathematik.uni-freiburg.de/IAM/Teaching/Dscripts.html Michael Ruzicka: ''Analysis I''.] Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. [http://www.mathematik.uni-freiburg.de/IAM/Teaching/scripts/ana1_WS04_05/skript3.pdf S 21] (PDF; 74 kB).</ref> benutzt; diese Wörter bezeichnen aber oft stattdessen die [[Bildmenge]]<ref>Harro Heuser, ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1.'' 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, S. 106.</ref> von <math>f</math>. Es besteht also Verwechslungsgefahr. In Deutschland herrscht im Schulunterricht Klarheit; es wird nur die Bezeichnung ''Wertemenge'' (oder ''Wertebereich'') im Sinne der Bildmenge benutzt. Die Zielmenge ist nur der Vorrat für mögliche Werte von <math>f</math>; es ist nicht zwingend erforderlich, dass diese auch tatsächlich alle durch <math>f</math> angenommen werden.

Die Menge der Werte, die als Funktionswert von <math>f</math> erscheinen, ist die Bildmenge.
Ist die Bildmenge von <math>f</math> gleich der Zielmenge von <math>f</math>, so heißt <math>f</math> [[Surjektivität|surjektiv]] (rechtstotal).

Die Zielmenge ist ein unterscheidender Bestandteil einer Funktion. Funktionen mit gleichem [[Definitionsbereich]] und gleicher Funktionsvorschrift, aber verschiedener Zielmenge, sind nicht gleich.<ref>Hlawka, Binder Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag Wien 1979, S. 27.</ref>

== Beispiel ==
Gesucht ist eine Funktion <math>f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math>, die jedem Punkt der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] seinen Abstand vom Nullpunkt zuordnet. Die Lösung lautet:
:<math>f(a,b) = \sqrt{a^2+b^2}</math>
Die Zielmenge der Funktion ist <math>\mathbb{R}</math>, die Menge der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]]. Da der Abstand nie negativ sein kann, werden nicht alle möglichen Werte angenommen. Die Bildmenge besteht genau aus den [[Negative Zahl|nichtnegativen]] reellen Zahlen (oft mit <math>\mathbb{R}_0^+</math> bezeichnet).

Die Funktion <math>g \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+</math> mit <math>g(a,b) := \sqrt{a^2+b^2}</math> hat denselben Definitionsbereich, dieselbe Funktionsvorschrift und dieselbe Bildmenge wie <math>f</math>. Da aber die Zielmengen verschieden sind, gilt <math>f \ne g</math>.

== Zusammenhang zwischen den Mengen ==
Anhand der einfachen Beispielfunktion aus Abbildung 1 sollen noch einmal die verschiedenen auftretenden Mengen erklärt werden:
* Die ''Definitionsmenge'' (<math>A</math>) enthält die Elemente '''1, 2, 3, 4'''.
* Die ''Zielmenge'' (<math>B</math>) enthält die Elemente '''a, b, c, d'''.
* Die ''Bildmenge'' besteht aus den Elementen '''b, c, d'''. Nur diese drei werden als Funktionswerte tatsächlich angenommen.
* ''Definitionsbereich'' ist ein anderes Wort für Definitionsmenge.
* ''Wertevorrat'' ist ein anderes Wort für Zielmenge.
* ''Wertemenge'' und ''Wertebereich'' sind in ihrer Bedeutung nicht eindeutig festgelegt und können die Zielmenge oder auch die Bildmenge bezeichnen. In Deutschland herrscht im Schulunterricht Klarheit, es wird nur der Bezeichner Wertemenge (Wertebereich) im Sinne der Bildmenge benutzt.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Zielmenge - Versionsgeschichte

imported>TaxonKatBot: Bot: Kategorie:Mathematischer Grundbegriff entfernt: laut Diskussion