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2026-01-05T12:12:14Z

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[[Datei:ZernikePolynome4.png|mini|hochkant=1.3|Zernike-Polynome:<br>
<math>z^{-1}_1, z^{+1}_1, z^{-2}_2</math>,&emsp;<math>z^{\pm 0}_2, z^{+2}_2, z^{-3}_3</math>,&emsp;<math>z^{-1}_3, z^{+1}_3, z^{+3}_3</math>,
<math>z^{-4}_4, z^{-2}_4, z^{\pm 0}_4</math>,&emsp;<math>z^{+2}_4, z^{+4}_4, z^{-2}_6</math>.]]

Die '''Zernike-Polynome''' sind nach [[Frits Zernike]] benannte [[orthogonale Polynome]] auf dem [[Einheitskreis]]. Sie sind [[orthogonal]] bezüglich des [[Skalarprodukt]]s
<math>
\langle f, g \rangle = \iint_{x^2+y^2\leq 1} f(x,y)g(x,y) \mathrm dx \mathrm dy
</math>
in [[Kartesische Koordinaten|kartesischen]] beziehungsweise
<math>
\langle f, g \rangle = \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^1 f(\rho,\phi)g(\rho,\phi) \rho \mathrm d\rho \mathrm d\phi</math>
in [[Polarkoordinaten]].

Die Zernike Polynome spielen insbesondere in der [[Wellenoptik]] eine wichtige Rolle. Es gibt bezüglich <math>\phi</math> [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade und ungerade]] Zernike-Polynome.<br>
Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

:<math>Z^{+m}_{n}(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\cos m\phi</math>, also <math>Z^{+m}_{n}(\rho,-\phi)=Z^{+m}_{n}(\rho,\phi)</math>,

und die ungeraden durch

:<math>Z^{-m}_{n}(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\sin m\phi</math>, also <math>Z^{-m}_{n}(\rho,-\phi)= -Z^{-m}_{n}(\rho,\phi)</math>

wobei <math>m</math> und <math>n</math> nichtnegative ganze Zahlen sind. Zusätzlich wird gefordert, dass <math>m \leq n</math> und <math>n-m</math> [[Parität (Mathematik)|gerade]] ist. <math>\phi</math> ist der [[azimut]]ale [[Winkel]] und <math>\rho</math> ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome <math>R^m_n</math> sind definiert gemäß

:<math>R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k}</math>,
wenn <math>n-m</math> gerade ist und <math>R^m_n(\rho)=0</math>, wenn <math>n-m</math> ungerade ist.

In dieser Form sind sie zu <math>R^m_n(1)=1</math> normiert.

== Eigenschaften ==
Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils <math>R^m_n</math> und eines winkelabhängigen Teils <math>G^m</math>:

:<math>Z^{\pm m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\cdot G^m(\phi) \!.</math>

[[Datei:Zernike_polynomials_with_read-blue_cmap.png|mini|upright=2|Zernike-Polynome:<br/>Von oben nach unten: <math>Z_0</math> bis <math>Z_5</math>.<br/> Von links nach rechts: <math>Z^{<0}</math> über <math>Z^0</math> (auf der vertikalen Achse in der Mitte) bis <math>Z^{>0}</math>.]]

Zernike-Polynome werden üblicherweise in [[Polarkoordinaten]] angegeben. Mit <math>x=\rho\cos\phi</math> und <math>y=\rho\sin\phi</math> umgewandelt auf [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesische Koordinaten]] sind die Zernike-Polynome <math>Z^{\pm m}_n</math> [[univariat|bivariate]] Polynome in <math>x</math> und <math>y</math>.<ref>[https://e-l.unifi.it/pluginfile.php/1055875/mod_resource/content/1/Appunti_2020_Lezione%2014_4_Zernikepolynomialsaguidefinal.pdf Lakshminarayanan & Fleck, Review, 2011: Zernike polynomials: A guide].</ref>

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel <math>2 \pi /m</math> ändert den Wert des Polynoms nicht:

:<math>G^m(\phi + 2 \pi /m) = G^m(\phi ) \!.</math>

Der radiusabhängige Teil <math>R^m_n(\rho)</math>ist ein Polynom über <math>\rho</math> vom Grad <math>n</math>, welches nur Potenzen <math>\rho^k</math> mit <math>m\leq k \leq n</math> und <math>k-m</math> gerade enthält.
Dadurch sind <math>\rho^k\cos(m\phi)</math> und <math>\rho^k\sin(m\phi)</math> und somit auch die Zernike-Polynome in kartesischen Koordinaten als Polynome in <math>x</math> und <math>y</math> darstellbar, vgl. [[Formelsammlung_Trigonometrie#Winkelfunktionen_für_weitere_Vielfache|Winkelfunktionen für weitere Vielfache]].

{| class="wikitable float-right"
|+Zernike-Polynome in Polarkoordinaten und in kartesischen Koordinaten<ref>[https://wp.optics.arizona.edu/jcwyant/wp-content/uploads/sites/13/2016/08/Zernike_Polynomials_For_The_Web.pdf Wyant - Zernike Polynomials For The Web].</ref>
|-
!Polynom
!Polarkoordinaten
!Kartesische Koordinaten
!Wellenoptische Interpretation
|-
| <math>Z^0_0</math>
| <math>1</math>
| <math>1</math>
| [[Mittelwert]] (Piston)
|-
| <math>Z^{-1}_1</math>
| <math>\rho \sin\phi</math>
| <math>y</math>
| [[Querachse|Verschwenkung in der horizontalen Achse]]
|-
| <math>Z^1_1</math>
| <math>\rho \cos\phi</math>
| <math>x</math>
| [[Gierachse|Verschwenkung in der vertikalen Achse]]
|-
| <math>Z^{0}_2</math>
| <math>-1+2\rho^2</math>
| <math>-1+2(x^2+y^2)</math>
| [[Entfernungseinstellung|Defokussierung]]
|-
| <math>Z^{-2}_2</math>
| <math>\rho^2\sin(2\phi)</math>
| <math>2xy</math>
| [[Astigmatismus (Optik)|Astigmatismus]] schräg (45°) zu den Hauptachsen
|-
| <math>Z^{2}_2</math>
| <math>\rho^2\cos(2\phi)</math>
| <math>x^2-y^2</math>
| Astigmatismus in den Hauptachsen
|-
| <math>Z^{-1}_3</math>
| <math>(3 \rho^3 - 2 \rho) \sin \phi</math>
| <math>3y(x^2 + y^2)-2y</math>
| [[Koma (Optik)|Koma]], horizontale Achse
|-
| <math>Z^{1}_3</math>
| <math>(3 \rho^3 - 2 \rho) \cos \phi</math>
| <math>3x(x^2 + y^2)-2x</math>
| Koma, vertikale Achse
|-
| <math>Z^{0}_4</math>
| <math>6 \rho^4 - 6 \rho^2 + 1</math>
| <math>6(x^2 + y^2)^2-6(x^2 + y^2)+1</math>
| [[Sphärische Aberration]]
|}

<math>R^m_n</math> ist eine bezüglich <math>\rho</math> gerade (ungerade) Funktion, wenn <math>m</math> gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil <math>R^m_n</math> stellt einen Spezialfall der [[Jacobi-Polynom]]e <math>P_n^{(\alpha,\beta)} (z)</math> dar.

:<math>R^m_n(\rho) = (-1)^{(n-m)/2} \rho^m P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho^2)</math>

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

:<math>R^0_0(\rho) = 1 </math>

:<math>R^1_1(\rho) = \rho </math>

:<math>R^0_2(\rho) = 2\rho^2 -1 </math>

:<math>R^2_2(\rho) = \rho^2 </math>

:<math>R^1_3(\rho) = 3\rho^3 - 2\rho </math>

:<math>R^3_3(\rho) = \rho^3 </math>

:<math>R^0_4(\rho) = 6\rho^4 - 6\rho^2 + 1 </math>

:<math>R^2_4(\rho) = 4\rho^4 - 3\rho^2 </math>

:<math>R^4_4(\rho) = \rho^4 </math>

:<math>R^1_5(\rho) = 10\rho^5 - 12\rho^3 + 3\rho </math>

:<math>R^3_5(\rho) = 5\rho^5 - 4\rho^3 </math>

:<math>R^5_5(\rho) = \rho^5 </math>

:<math>R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 -1 </math>

Allgemein ist <math>R^n_n(\rho) = \rho^n.</math>

== Anwendungen ==
In der [[Optik]] werden Zernike-Polynome benutzt, um [[Abbildungsfehler]] optischer Systeme quantitativ zu erfassen. Dies findet zum Beispiel in der [[Adaptive Optik|adaptiven Optik]] Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der [[Optometrie]] und [[Augenheilkunde]] üblich. Hier führen Abweichungen der [[Hornhaut|Cornea]] beziehungsweise der [[Linse (Optik)|Linse]] von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

== Literatur ==
{{commonscat|Zernike polynomials|Zernike-Polynom|audio=0|video=0}}
* [[Frits Zernike]]: „Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und seiner verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode.“ Physica 1, 689–704, 1934.
* Born and Wolf: ''Principles of Optics''. Oxford: Pergamon, 1970.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|ZernikePolynomial|Zernike Polynomial}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Zernikepolynom}}
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:Technische Optik]]
[[Kategorie:Polynom]]

Zernike-Polynom - Versionsgeschichte

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