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2025-06-04T20:10:57Z

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Die '''Zerfallsbreite''' <math>\Gamma</math> ist eine besonders in der [[Kernphysik|Kern-]] und [[Elementarteilchenphysik]] verwendete [[Messgröße]], aus der die [[Lebensdauer (Physik)|Lebensdauer]] kurzlebiger [[Teilchen]]<nowiki/>zustände ([[Resonanz (Physik) #Teilchenphysik|Resonanzen]]) bestimmt werden kann. „Breite“ bezieht sich dabei auf die [[Halbwertsbreite]] des betreffenden Maximums ([[Peak]]s) in der graphisch dargestellten [[Anregungsfunktion]] ([[Wirkungsquerschnitt]] als Funktion der [[Schwerpunktsenergie]]). Die Breite zeigt somit direkt die [[Energie-Zeit-Unschärferelation|Energieunschärfe]] des Zustands. Je geringer die (Zerfalls)-Breite eines Peaks, desto länger ist die Lebensdauer des entsprechenden Teilchenzustands und umgekehrt. Nach der [[Quantenmechanik]] kann ein instabiler Zustand grundsätzlich keine scharf definierte Energie haben; nur Zustände, die sich nicht verändern, können Eigenzustände zum [[Hamiltonoperator]] sein und damit festgelegte Energien haben.

Die Zerfallsbreite hat die [[Dimension (Größensystem)|Dimension]] einer [[Energie]] und wird z. B. in [[Elektronvolt]] angegeben.

== Zerfallskonstante und Lebensdauer ==
Nach dem [[Zerfallsgesetz]] gilt für eine Anzahl ''N'' gleicher, instabiler Teilchen

:<math>-\frac{\mathrm d N}{\mathrm d t} = -\dot {N} = \lambda \cdot N,</math>

so dass zum Zeitpunkt ''t'' gilt:

:<math>N(t) = N_0 \cdot \mathrm e^{-\lambda t} .</math>

mit
* der Anzahl <math>N_0</math> der Teilchen zum Zeitpunkt <math>t=0</math>
* der [[Zerfallskonstante]] ''λ'' (Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeitspanne). Die [[Dimension (Physik)|Dimension]] der Zerfallskonstante ist demnach die einer inversen Zeit, die übliche Einheit [[Sekunde|s]]−1. Der [[Kehrwert]] der Zerfallskonstante ist die Lebensdauer <math>\tau= \tfrac 1 \lambda</math>.

== Totale Zerfallsbreite ==
Die totale Zerfallsbreite <math>\Gamma</math> einer Resonanz, d. h. eines kurzlebigen Teilchens, kann bestimmt werden, indem man den gemessenen [[Wirkungsquerschnitt]] über der [[Schwerpunktsenergie]] aufträgt ([[Anregungsfunktion]]) und an die Messwerte eine [[Breit-Wigner-Funktion|Breit-Wigner-Kurve]] anpasst, zum Beispiel nach der [[Methode der kleinsten Quadrate]] ([[Ausgleichsrechnung]]).

Nach einer der Formen der [[Energie-Zeit-Unschärferelation]], wie sie aus der [[Streutheorie]] an einem [[Potentialtopf]] hervorgeht<ref>{{Literatur |Autor=John M. Blatt, [[Victor Weisskopf|Victor F. Weisskopf]] |Titel=Theoretical Nuclear Physics |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Datum=1979 |ISBN=978-1-4612-9961-5 |DOI=10.1007/978-1-4612-9959-2 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-1-4612-9959-2 |Abruf=2025-03-02}}</ref>, ist die gemessene Energieunschärfe <math>\Gamma</math> [[proportional]] der Zerfallskonstante, also umgekehrt proportional der Lebensdauer:

:<math>\begin{align}
\Gamma & = \hbar \cdot \lambda\\
& = \hbar \cdot \frac 1{\tau}
\end{align}</math>

mit der [[Reduzierte Planck-Konstante|reduzierten Planck-Konstante]] <math>\hbar</math>.

Anschaulich formuliert: die Energie eines Zustandes ist umso schärfer festgelegt (bzw. seine Energie-Unschärfe umso kleiner), je länger seine Lebensdauer.

Die mittlere Lebensdauer eines Teilchenzustandes kann also aus der Messung seiner totalen Zerfallsbreite bestimmt werden. So entspricht 1 MeV einer Lebensdauer von 6,58·10−22 Sekunden, also einer [[Halbwertszeit]] von 4,56·10−22 Sekunden.

== Partielle Zerfallsbreite ==
In der Elementarteilchenphysik ist meist nur der Zerfall eines einzelnen Teilchens in verschiedene Endzustände mit jeweils unterschiedlichen Zerfallsprodukten interessant. Auch hier tritt eine der Lebensdauer entsprechende Unschärfe der frei werdenden Energie auf.

Da die meisten instabilen Teilchen in verschiedene Endzustände zerfallen können, definiert man für jeden [[Zerfallskanal]] ''i'' eine ''Partialbreite'' <math>\Gamma_i</math>. Die Summe aller Partialbreiten ist die oben beschriebene ''totale'' Zerfallsbreite:

:<math>\Gamma = \Gamma_\mathrm{tot} = \sum_{i=1}^n \Gamma_i</math>.

Für sie gilt wie oben

:<math>\Gamma = \frac{\hbar}{\tau}</math>

oder in [[Natürliche Einheiten|natürlichen Einheiten]] (<math>\hbar = c = 1</math>)

:<math>\Gamma = \frac{1}{\tau}</math>

Auch in der theoretischen Berechnung der Lebensdauer müssen alle möglichen Zerfallskanäle mit ihren Partialbreiten berücksichtigt werden.

Der Anschaulichkeit zuliebe wird gelegentlich eine Partialbreite durch den Kehrwert der betreffenden ''partiellen Zerfallskonstante'', also durch eine ''partielle mittlere Lebensdauer'' ausgedrückt. Diese ist aber eine [[fiktiv]]e, nicht beobachtbare Größe; der wirkliche Zerfall erfolgt immer entsprechend der totalen Zerfallskonstante.

== Verzweigungsverhältnis ==
Das ''Verzweigungsverhältnis'' (englisch: ''branching fraction'' oder ''branching ratio'')

:<math>B_i = \frac{\Gamma_i}{\Gamma}</math>

beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Teilchenzustand in einen bestimmten Endzustand zerfällt.

Beispielsweise zerfällt das positiv geladene [[Pion]] (<math>\pi^+</math>) in 99,9877 Prozent aller Fälle in ein positiv geladenes [[Myon]] und das zugehörige Myon-[[Neutrino]], und nur in 0,0123 Prozent der Fälle in ein [[Positron]] und ein Elektron-Neutrino. Hinzu kommen noch weitere Zerfallskanäle, die aber mit Verzweigungsverhältnissen in der Größenordnung 10−4 … 10−9 noch seltener auftreten.

== Berechnung der Zerfallsbreite ==
Die partiellen Zerfallsbreiten können im [[Ruhesystem]] des zerfallenden Teilchens berechnet werden als:

:<math>\mathrm d\Gamma = \frac{1}{2m} |\mathcal M|^2 \mathrm d\Pi_\mathrm{LIPS}</math>

mit
* der Masse <math>m</math> des Teilchens
* dem [[Matrixelement (Physik)|Matrixelement]] <math>\mathcal M</math> der [[S-Matrix|Streumatrix]] des entsprechenden Prozesses
* dem [[Lorentzinvarianz|Lorentz-invariant]]en [[Phasenraum]]<nowiki/>faktor (engl. Lorentz-invariant ''phase space (LIPS)'')<ref>{{Literatur|Autor= Matthew D. Schwartz|Titel= Quantum Field Theory and the Standard Model|Verlag= Cambridge University Press|Ort= Cambridge|Datum= 2014|ISBN=978-1-107-03473-0|Sprache= en|Seiten= 61-62}}</ref> nach [[Fermis Goldene Regel|Fermis Goldener Regel]]

::<math>\mathrm d\Pi_\mathrm{LIPS} = \prod_{j} \frac{\mathrm d^3 \vec p_j}{(2\pi)^3} \frac{1}{2E_j} (2\pi)^4 \delta^{(4)}\left(\sum_j p_j^\mu\right)</math>

:* der Dimension eines Impulsquadrates
:* dem Produkt <math>\prod_{j}</math> über alle Teilchen <math>j</math> im Endzustand
:* ihren Energien <math>E_j</math>
:* ihren [[Impuls]]en <math>p_j</math>.
:* <math>\delta</math> der [[Delta-Distribution|Delta-Funktion]] (Distribution)

== Literatur ==
{{Siehe auch|Kernphysik}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Teilchenphysik]]
[[Kategorie:Kernphysik]]

Zerfallsbreite - Versionsgeschichte

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