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2025-01-27T14:32:59Z

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Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Algebra]] bezeichnet das '''Zentrum''' einer [[Algebra über einem Körper|Algebra]] oder einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] diejenige [[Teilmenge]] der betrachteten Struktur, die aus all den Elementen besteht, die mit allen Elementen bezüglich der Gruppenverknüpfung [[Kommutativgesetz|kommutieren]].

== Zentrum einer Gruppe ==

Ist <math>G</math> eine Gruppe, so ist deren Zentrum die Menge
:<math>\mathrm Z(G):=\{z \in G \mid \forall g \in G : gz=zg\}.</math>

=== Eigenschaften ===

Das Zentrum von <math>G</math> ist eine [[Untergruppe]], denn sind <math>x</math> und <math>y</math> aus <math>Z(G)</math>, dann gilt für jedes <math>g\in G</math>
:<math>(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy),</math>
also liegt auch <math>xy</math> im Zentrum. Analog zeigt man, dass <math>x^{-1}</math> im Zentrum liegt:
:<math>x^{-1}g = (g^{-1}x)^{-1} = (xg^{-1})^{-1} = gx^{-1}</math>.
Das [[Neutrales Element|neutrale Element]] der Gruppe <math>e</math> liegt stets im Zentrum: <math>eg = g = ge</math>.

Das Zentrum ist [[abelsche Gruppe|abelsch]] und ein [[Normalteiler]] von <math>G</math>, es ist sogar eine [[charakteristische Untergruppe]] von <math>G</math>. <math>G</math> ist genau dann abelsch, wenn <math>Z(G) = G</math>.

Das Zentrum besteht aus genau den Elementen <math>z</math> von <math>G</math>, für die die [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]] mit <math>z</math>, also <math>\left(g \mapsto z^{-1}gz\right)</math>, die identische Abbildung ist. Somit kann man das Zentrum auch als Spezialfall des [[Zentralisator]]s definieren. Es gilt <math>Z_G(G)=Z(G)</math>.

=== Beispiele ===

* Das Zentrum der [[S3 (Gruppe)|symmetrischen Gruppe vom Grad 3]] <math>S_3 = \left\{\mathrm{id}, (1\;2), (1\;3), (2\;3), (1\;2\;3), (1\;3\;2)\right\}</math> besteht nur aus dem neutralen Element <math>\mathrm{id}</math>, denn:
:<math> (1\;2)(1\;3) = (1\;3\;2) \neq (1\;3)(1\;2) = (1\;2\;3)</math>
:<math> (1\;2)(2\;3) = (1\;2\;3) \neq (2\;3)(1\;2) = (1\;3\;2)</math>
:<math> (1\;2\;3)(1\;2) = (1\;3) \neq (1\;2)(1\;2\;3) = (2\;3)</math>
:<math> (1\;3\;2)(1\;2) = (2\;3) \neq (1\;2)(1\;3\;2) = (1\;3)</math>
* Die [[Diedergruppe]] <math>D_4</math> besteht aus den Bewegungen der Ebene, die ein fest gewähltes Quadrat unverändert lassen. Es sind dies die Drehungen um den Mittelpunkt des Quadrats um Winkel von 0°, 90°, 180° und 270°, sowie vier Spiegelungen an den beiden Diagonalen und den beiden Mittelparallelen des Quadrats. Das Zentrum dieser Gruppe besteht genau aus den beiden Drehungen um 0° und um 180°.
* Das Zentrum der multiplikativen Gruppe der invertierbaren <math>n \times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit Einträgen aus einem Körper besteht aus den skalaren Vielfachen der [[Einheitsmatrix]].

== Zentrum eines Rings ==
Das '''Zentrum''' eines [[Ring (Algebra)|Rings]] <math>R</math> besteht aus denjenigen Elementen des Rings, die mit allen anderen kommutieren:
:<math>\mathrm Z(R)=\{z\in R\mid \forall a \in R \colon za=az \}.</math>
Das Zentrum <math>Z(R)</math> ist ein [[Kommutativgesetz|kommutativer]] [[Unterring]] von <math>R</math>. Ein Ring stimmt genau dann mit seinem Zentrum überein, wenn er kommutativ ist.

== Zentrum einer assoziativen Algebra ==
Das '''Zentrum''' einer [[assoziative Algebra|assoziativen Algebra]] <math>A</math> ist die kommutative Unteralgebra
:<math>\mathrm Z(A)=\{z\in A\mid \forall a \in A \colon za=az \}.</math>
Eine Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie [[Kommutativgesetz|kommutativ]] ist.

== Zentrum einer Lie-Algebra ==
=== Definition ===
Das '''Zentrum''' einer [[Lie-Algebra]] <math>\mathfrak g</math> ist das (abelsche) [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]]
:<math>\mathfrak z(\mathfrak g)=\{Z\in \mathfrak g \mid \forall X \in \mathfrak{g} \colon [X,Z]=0 \}</math>,
worin <math>[\cdot,\cdot]</math> die [[Lie-Klammer]], also die Multiplikation, in <math>\mathfrak g</math> bezeichnet. Eine Lie-Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie abelsch ist.

=== Beispiel ===
* Das Zentrum der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>\operatorname{GL}(n,K)</math> besteht aus den [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] Vielfachen der [[Einheitsmatrix]] <math>E_n</math>:
:<math>Z\left( \operatorname{GL}(n,K) \right) = \{ \lambda E_n \vert \lambda \in K^* \}</math>.
* Für eine assoziative Algebra mit dem [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] als Lieklammer stimmen die beiden Zentrumsbegriffe überein.

== Literatur ==
*Kurt Meyberg: ''Algebra – Teil 1''. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 36

== Weblinks ==
*[http://planetmath.org/encyclopedia/Center10.html Zentrum in verschiedenen algebraischen Strukturen] bei [[PlanetMath]] (englisch)

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Algebren]]

Zentrum (Algebra) - Versionsgeschichte

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