imported>Seewurst: Im letzten Absatz im Abschnitt Zentralisator war ein Fehler enthalten: Wenn die Elemente einer Teilmenge einer Gruppe untereinander nicht kommutieren, ist die Menge nicht in ihrem Zentralisator, und damit auch nicht im Zentrum des Zentralisators enthalten. Siehe auch Englische Fassung.

2022-11-03T09:53:48Z

Im letzten Absatz im Abschnitt Zentralisator war ein Fehler enthalten: Wenn die Elemente einer Teilmenge einer Gruppe untereinander nicht kommutieren, ist die Menge nicht in ihrem Zentralisator, und damit auch nicht im Zentrum des Zentralisators enthalten. Siehe auch Englische Fassung.

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Der '''Zentralisator''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Gruppentheorie]]. Der Zentralisator <math>Z_G(x)</math> eines Elementes <math>x</math> einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math> ist die aus allen mit <math>x</math> [[Kommutator (Mathematik)|kommutierenden]] Gruppenelementen bestehende Menge:
:<math>Z_G(x):=\{g\in G\mid gx=xg\}</math>
Allgemeiner definiert man als Zentralisator <math>Z_G(U)</math> einer [[Teilmenge]] <math>U</math> einer Gruppe <math>G</math> die Menge
:<math>Z_G(U):=\{g\in G\mid gu=ug\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ u \in U\}</math>
oder äquivalent dazu die [[Schnittmenge]] der Zentralisatoren der einzelnen Elemente aus <math>U</math>
:<math>Z_G(U):=\bigcap_{x \in U} Z_G(x).</math>

== Eigenschaften ==
Der Zentralisator eines Gruppenelementes oder einer Teilmenge bildet eine [[Untergruppe]] der Gruppe. Insbesondere ist das [[neutrales Element|neutrale Element]] einer Gruppe in den Zentralisatoren jedes Gruppenelementes und jeder Teilmenge enthalten, da es mit allen Gruppenelementen kommutiert. Der Zentralisator des neutralen Elements einer Gruppe ist die Gruppe selbst.

Für alle Elemente <math>x</math> einer Gruppe <math>G</math> gilt <math>Z_G(x^{-1})=Z_G(x)</math>. Für alle Elemente <math>x</math> einer Gruppe <math>G</math> und alle natürlichen Zahlen <math>n</math> gilt <math>x^n \in Z_G(x)</math> und <math>(x^{-1})^n \in Z_G(x)</math>. Somit ist für jedes Element <math>x</math> einer Gruppe <math>G</math> die von <math>x</math> [[erzeugte Untergruppe|erzeugte]] [[zyklische Gruppe|zyklische Untergruppe]] <math>\langle x\rangle</math> auch Untergruppe des Zentralisators <math>Z_G(x)</math> von <math>x</math>. Für alle Elemente <math>x</math> einer Untergruppe <math>H</math> einer Gruppe <math>G</math> gilt <math>Z_H(x) = Z_G(x) \cap H</math>.

== Konjugation ==
{{Hauptartikel|Konjugation (Gruppentheorie)}}
Jede Gruppe [[Gruppenoperation|operiert]] auf sich selbst durch Konjugation. Der Zentralisator eines Elementes ist dann gerade der [[Gruppenoperation#Stabilisator|Stabilisator]] bezüglich dieser Gruppenoperation, d. h., der Zentralisator <math>Z_G(x)</math> eines Elementes <math>x</math> einer Gruppe <math>G</math> ist die Menge aller Gruppenelemente, die <math>x</math> unter Konjugation unverändert lassen:
:<math>Z_G(x) = \{ g\in G \mid x=gxg^{-1} \}</math>.

Daraus folgt, dass die Anzahl der Elemente, die zu <math>x</math> konjugiert sind, das heißt die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] der Konjugationsklasse von <math>x</math>, gleich dem [[Index (Gruppentheorie)|Index]] <math>[G : Z_G(x)]</math> des Zentralisators von <math>x</math> ist. Im Falle einer endlichen Gruppe ist also die Anzahl dieser konjugierten Elemente stets ein Teiler der [[Gruppenordnung]] <math>|G|</math>. Ist bei einer endlichen Gruppe <math>x_1, x_2, \dotsc, x_n</math> ein Repräsentantensystem ''aller'' Konjugationsklassen von <math>G</math>, dann gilt:<ref>Hungerford (1989), S. 89 f.</ref>
:<math>|G|=\sum_{j=1}^n [G : Z_G(x_j)]</math>

== Zentrum ==
Für eine [[abelsche Gruppe]] <math>G</math> sind die Zentralisatoren aller Gruppenelemente und aller Teilmengen gleich der ganzen Gruppe <math>G</math>. Umgekehrt ist der Zentralisator <math>Z_G(G)</math> einer beliebigen Gruppe <math>G</math> (die Menge der mit allen Gruppenelementen kommutierenden Gruppenelemente) immer ein abelscher [[Normalteiler]] der Gruppe. Der Zentralisator <math>Z_G(G)</math> wird als das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>Z(G)</math> der Gruppe bezeichnet. Eine Gruppe <math>G</math> ist genau dann [[abelsche Gruppe|abelsch]], wenn sie gleich ihrem Zentrum ist.

Ein Gruppenelement ist genau dann im Zentrum der Gruppe enthalten, wenn sein Zentralisator gleich der ganzen Gruppe ist. Eine Teilmenge <math>S</math> ist genau dann in <math>Z_G(S)</math> enthalten, wenn ihre Elemente paarweise kommutieren. Der Zentralisator einer Teilmenge <math>S</math> paarweise kommutierender Elemente einer Gruppe <math>G</math> ist die größte Untergruppe von <math>G</math>, deren Zentrum <math>S</math> enthält.

== Normalisator ==
Eng verwandt mit dem Begriff des Zentralisators ist der Begriff des [[Normalisator]]s. In diesem Fall operiert die Gruppe auf der Menge ihrer [[Untergruppe]]n durch [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]]. Der Zentralisator ist ein [[Normalteiler]] im jeweiligen Normalisator.

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor= Thomas W. Hungerford
| Titel= Algebra
| Auflage= 5.
| Verlag= Springer
| Datum= 1989
| ISBN= 0-387-90518-9
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

Zentralisator - Versionsgeschichte