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2025-06-24T03:01:15Z

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Ein '''Zellkomplex''' oder '''CW-Komplex''' ist ein [[mathematisches Objekt]] aus dem Bereich der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]]. Es ist eine Verallgemeinerung des [[Simplizialkomplex]]es und wurde 1949 von [[John Henry Constantine Whitehead]] eingeführt.<ref>J. H. C. Whitehead: ''Combinatorial homotopy'', Bull. Amer. Math. Soc., Band 55, 1949, 213–245 (Teil 1), S. 453–496 (Teil 2)</ref>

== Definition ==
Eine <math>k</math>-Zelle ist ein [[topologischer Raum]], der zu <math>B^k:=[0,1]^k</math> [[Homöomorphismus|homöomorph]] ist. Eine offene <math>k</math>-Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von <math>B^k</math> homöomorph ist. <math>k</math> nennt man die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] der Zelle.

Ein ''Zellkomplex'' oder auch ''CW-Komplex'' (''closure-finite weak-topology'') ist ein [[Hausdorff-Raum]] <math>X</math>, der in offene Zellen <math>(c_i)_{i \in I}</math> zerfällt, wobei gilt:
#zu jeder <math>k</math>-Zelle <math>c_i \subseteq X</math> existiert eine [[Stetige Funktion|stetige]] [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] <math>f_i: B^k \rightarrow X</math> so dass das Innere von <math>B^k</math> homöomorph auf <math>c_i</math> und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension <math><k</math> abgebildet wird. (<math>f_i</math> heißt die charakteristische Abbildung der Zelle <math>c_i</math>.)
#<math>M \subseteq X</math> ist genau dann abgeschlossen, wenn <math>M \cap f_i(B^k)</math> für alle <math>i \in I</math> abgeschlossen ist.

Das <math>k</math>-Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen <math>\le k</math>.

Ein ''endlicher CW-Komplex'' ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.

== Eigenschaften ==

Jeder CW-Komplex ist [[normaler Raum|normal]], erfüllt aber nicht unbedingt das erste [[Abzählbarkeitsaxiom]], ist also nicht unbedingt [[Metrisierbarer Raum|metrisierbar]]. Jeder CW-Komplex ist [[lokal zusammenziehbar]].

In [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]] CW-Komplexen gilt der [[Homotopieäquivalenz#Satz von Whitehead|Satz von Whitehead]] über die [[Homotopieäquivalenz]].

Ein CW-Komplex ist der [[Kolimes]] seiner endlichen Unterkomplexe.

== Beispiele ==
* Jeder [[Simplizialkomplex]] ist ein CW-Komplex.
* Jede offene sternförmige Teilmenge des <math>\mathbb{R}^k</math> ist eine k-Zelle.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Jänich |Titel=Topologie |Auflage=8 |Verlag=Springer |Datum=2008-02 |ISBN=978-3540213932 |Seiten=116}}</ref>
* <math>\mathbb{R}</math> ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen <math>c_i = (i, i+1)</math> und die charakteristischen Abbildungen <math>f_i: [0, 1] \to \mathbb{R}, x \mapsto i+x</math>.

== Zelluläre Abbildungen ==

Das <math>n</math>-Gerüst <math>K_n</math> eines CW-Komplexes <math>K</math> ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension <math>\le n</math>.

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung <math>f\colon K\to L</math>, die jede <math>n</math>-Zelle von <math>K</math> in das <math>n</math>-Gerüst von <math>L</math> abbildet. (Dabei müssen <math>n</math>-Zellen nicht notwendig auf <math>n</math>-Zellen abgebildet werden.)

== Siehe auch ==
* [[Abstrakter Zellkomplex]]

== Literatur ==

* Allen Hatcher: ''[https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic Topology]''. Cambridge University Press 2010, ISBN 978-0-521-79540-1, S. 5ff., S. 102ff., S. 106ff
* {{EoM
| Titel = CW-complex
| Autor = D.O. Baladze
| id = CW-complex
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Homologische Algebra]]

Zellkomplex - Versionsgeschichte

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