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2024-05-20T17:44:44Z

Vereinfachung

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Der '''Zeitentwicklungsoperator''' <math>U</math> ist ein [[Quantenmechanik|quantenmechanischer]] [[linearer Operator|Operator]], mit dem sich die [[Zeitentwicklung|zeitliche Entwicklung]] eines [[Physikalisches System|physikalischen Systems]] berechnen lässt.<ref>{{Literatur |Autor=Alexandre Zagoskin |Titel=Basic Concepts |Sammelwerk=Quantum Theory of Many-Body Systems |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2014 |Sprache=en |ISBN=978-3-319-07048-3 |DOI=10.1007/978-3-319-07049-0_1 |Seiten=1–51 |Online=https://link.springer.com/10.1007/978-3-319-07049-0_1 |Abruf=2023-02-19}}</ref> Der quantenmechanische Operator ist eng verwandt mit dem [[Propagator]] in der [[Quantenfeldtheorie|Quantenfeld-]] oder [[Vielteilchentheorie]]. Üblicherweise wird er als <math>U(t, t_0)</math> geschrieben und bezeichnet die Entwicklung des Systems vom Zeitpunkt <math>t_0</math> zum Zeitpunkt <math>t</math>.

== Konstruktion ==
Die Konstruktion des Zeitentwicklungsoperators kann über die formale [[Potenz (Mathematik)|Exponentiation]] der [[Schrödingergleichung]] oder direkt über seine Eigenschaften erfolgen.

=== Über die Exponentiation der Schrödingergleichung ===
Der Zeitentwicklungsoperator <math>U(t, t_0)</math> wird definiert über die Zeitentwicklung eines beliebigen [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]]es <math>|\psi \rangle</math> zu einem Zeitpunkt <math>t_0</math> bis zum Zeitpunkt <math>t</math>:

:<math>|\psi(t)\rangle = U(t, t_0) \, |\psi(t_0)\rangle \quad \forall|\psi\rangle</math>

Einsetzen in die Schrödingergleichung liefert einen Satz [[gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]] 1. Ordnung:

:<math>\mathrm i \hbar \tfrac \partial{\partial t} U(t,t_0) = H(t) \, U(t, t_0)</math>

Diese Gleichungen sind zur Schrödingergleichung insofern äquivalent, als sie die Erweiterung des Zeitentwicklungsoperators um einen [[infinitesimal]]en Zeitschritt <math>\delta t</math> beschreiben:

:<math>U(t + \delta t, t_0) = (1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H(t) \, \delta t) \, U(t, t_0) + O(\delta t^2)</math>

mit dem [[Hamiltonoperator]] <math>H</math>, der den [[Erzeuger (Algebra)|Erzeuger]] der Zeitentwicklungen darstellt.

Aus diesen Gleichungen können einige Eigenschaften von <math>U(t, t_0)</math> abgelesen werden:
# [[Stetiger Operator|Kontinuität]]: <math>U(t_0, t_0) = 1</math>
# [[Unitärer Operator|Unitarität]]: <math>U^\dagger(t, t_0) \, U(t, t_0) = 1</math>
# [[Propagator]]<nowiki/>eigenschaft: <math>U(t, t_0) = U(t, t^\prime) \, U(t^\prime, t_0) \quad \forall t^\prime</math>

Kontinuität und Propagatoreigenschaft folgen direkt aus der Definition von <math>U</math>. Die Unitarität folgt aus der [[Selbstadjungiert]]heit von <math>H</math> und sichert die Erhaltung der [[Norm (Mathematik)|Norm]] und damit der Gesamtwahrscheinlichkeit:

:<math>\langle \psi(t)| \psi(t)\rangle = \langle \psi(t_0)|U^\dagger(t, t_0) \, U(t,t_0) |\psi(t_0)\rangle
= \langle \psi(t_0)| \psi(t_0)\rangle</math>

=== Über die Eigenschaften des Operators ===
Umgekehrt kann auch die Zeitentwicklung als Ausgangspunkt genommen werden: Das System wird durch einen Zeitentwicklungsoperator <math>U(t, t_0)</math> definiert, der den o. g. Kriterien 1 bis 3 genügen muss. Dann wird dieser durch einen selbstadjungierten Operator <math>H(t)</math> erzeugt, womit die Brücke zum Hamiltonoperator und zur Schrödingergleichung geschlagen ist.

== Explizite Form ==
Aus der Schrödingergleichung erhalten wir zunächst nur die infinitesimale Form des Zeitentwicklungsoperators (siehe oben):

:<math>U(t+\delta t,t) = 1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H(t) \, \delta t + O(\delta t^2)</math>

Endliche Zeitentwicklungen erhält man grob gesprochen entweder durch Verknüpfung unendlich vieler infinitesimaler Zeitschritte oder durch eine [[Reihenentwicklung]].

=== Zeitunabhängige Systeme ===
Falls der Hamiltonoperator <math>H</math> nicht explizit zeitabhängig ist, so lässt sich eine [[Gleichung#Analytische Lösung|analytische Lösung]] für den Zeitentwicklungsoperator finden. Für die Aneinanderreihung von kleinen Zeitentwicklungen <math>\delta t</math> erhält man im [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] <math>\delta t</math> gegen 0 ein [[Matrixexponential]]:

:<math>U(t,t_0) = \lim_{\delta t\to0} \left(1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H\delta t \right)^{\frac{t-t_0}{\delta t}}
= \exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{\hbar} H\cdot(t-t_0)\right) </math>

Dasselbe Ergebnis folgt auch direkt aus der Schrödingergleichung für <math>U</math>, wenn man den Operator in eine [[Potenzreihe]] in <math>t - t_0</math> entwickelt und einen [[Koeffizientenvergleich]] durchführt. Man erhält dann die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion<ref group="NB">Oft wird die Exponentialfunktion für Operatoren auch über ihre Potenzreihe definiert</ref>:

:<math>U(t,t_0) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!} \left(-\tfrac{\mathrm i}{\hbar} H\cdot(t-t_0)\right)^n
= \exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{\hbar} H\cdot(t-t_0)\right) </math>

<math>U(t,t_0)</math> ist für zeitunabhängige Systeme nur von der Zeitdifferenz <math>\Delta t = t - t_0</math> abhängig, was die Unabhängigkeit des Systems gegenüber der Wahl des Zeitursprungs ausdrückt (zeitliche [[Translationsinvarianz]]).

Für praktische Rechnungen verwendet man meist die [[Spektralsatz|Spektraldarstellung]] des Zeitentwicklungsoperators, bei der der „unpraktische“ Operator im Exponenten zu einem Phasenfaktor wird:

:<math>U(t,t_0) = \sum_n \exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{\hbar} E_n(t-t_0) \right) |n\rangle\langle n|</math>,

wobei <math>{|n\rangle}</math> die Energieeigenbasis (<math>H|n\rangle=E_n|n\rangle</math>) darstellt<ref group="NB">Die Formel gilt in dieser Form nur für abzählbare Basen. Sie kann aber auch auf kontinuierliche Spektren verallgemeinert werden (siehe auch [[Spektralsatz]]).</ref>. Diese Form passt mit der Lösung der zeitseparierten Schrödingergleichung zusammen.

=== Explizit zeitabhängige Systeme ===
Ist <math>H=H(t)</math> zeitabhängig, so sind im Allgemeinen nur mehr numerische Lösungen für <math>U</math> möglich, es sei denn, der Hamiltonoperator kommutiert, zu verschiedenen Zeitpunkten ausgewertet, mit sich selbst. Dann kann wie im eindimensionalen Fall die Differenzialgleichung durch Exponentiation gelöst werden und man erhält:

:<math>U(t,t_0) = \exp\left(-\tfrac{\mathrm i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(\tau) d\tau\right)
\quad\Leftrightarrow\quad[H(t),H(t^\prime)]=0</math>

In der Regel ist dies nicht der Fall und man muss eine der beiden obigen Techniken für zeitunabhängige Systeme verallgemeinern, um zu einer Lösung zu kommen.

Betrachtet man die Zeitentwicklung wieder als Aneinanderreihung kleiner (in diesem Fall nicht äquivalenter) Zeitschritte <math>\delta t</math>, so definiert der Grenzwert <math>\delta t</math> gegen 0 formal ein [[Produktintegral]] nach [[Vito Volterra]]:

:<math>U(t,t_0) = \lim_{\delta t\to 0} \prod_{t_i} \left(1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H(t_i) \delta t \right)
=: \prod_{\tau=t_0}^t \left(1 - \tfrac{\mathrm i}{\hbar} H(\tau) d\tau \right)</math>

Dieses Bild der aneinandergereihten kleinen Zeitschritte („time slicing“) ist eine wesentliche Zutat für die Definition des [[Pfadintegral]]s. Für praktische Rechnungen betreibt man in der Regel [[Störungstheorie (Quantenmechanik)#Zeitabhängige Störungstheorie|Zeitabhängige Störungstheorie]], bei der man eine Reihenentwicklung für <math>U</math> in die Schrödingergleichung in Integralform einsetzt. Die Störungsreihe ergibt sich dann zur sogenannten [[Störungstheorie (Quantenmechanik)#Dyson-Reihe des Zeitentwicklungsoperators|Dyson-Reihe]]:

:<math>U(t,t_0) = \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\right)^n
\int_{t_0}^{t}dt_1 H(t_1) \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_2) \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_{n}
\;H(t_n)</math>
::::<math>= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\right)^n
\int_{t_0}^{t} dt_1\cdots\int_{t_0}^{t}dt_n\;T\left[H(t_1)\cdots H(t_n)\right]</math>
::::<math>=: T\left[\exp\left(-\frac{\mathrm i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(\tau) d\tau\right)\right].</math>

mit dem [[Zeitordnungsoperator|Zeitordnungs-Operator]] <math>T</math>. Im eindimensionalen Fall ist dieser Operator trivial und man erhält erneut obige Gleichung. Während man sich für viele Systeme auf wenige Terme der Störungsreihe beschränken kann, gibt es manche Systeme wie etwa Nicht-[[Fermi-Flüssigkeit]]en, bei denen die Reihe nicht konvergiert.

== Literatur ==
{{Siehe auch|Quantenmechanik|Mathematische Formulierung der Quantenmechanik}}
* {{Literatur |Autor=J. J. Sakurai, Jim Napolitano |Titel=Modern Quantum Mechanics |Auflage=3. |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=2021 |Sprache=en |ISBN=978-1-108-47322-4 |DOI=10.1017/9781108587280}}

== Anmerkungen ==
<references group="NB" />

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Zeitentwicklungsoperator - Versionsgeschichte

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